Question

在一塊如圖所示的直角三角形余料ABC上裁減下一個矩形，AC=6cm，BC=8cm，CH是斜邊上的高，矩形的一邊DE在斜邊上，另兩個頂點F，G分別在邊BC，AC上．
（1）求高CH的長；
（2）設GF=x，EF=y，求y與x之間的函數(shù)關系式；
（3）設矩形DEFG的面積為S，試問S有最大值嗎？若有，請你求出S的最大值．

Answer 1

考點：相似三角形的應用,二次函數(shù)的最值

專題：

分析：（1）利用勾股定理列式求出AB的長，再利用△ABC的面積列出方程計算即可得解；
（2）根據(jù)△GFC和△ABC相似，利用相似三角形對應高的比等于相似比列式整理即可；
（3）根據(jù)矩形的面積列式用x表示出S，再利用二次函數(shù)的最值問題解答．

解答：解：（1）由勾股定理得，AB=

AC2+BC2

=

62+82

=10，
∵∠ACB=90°，CH是斜邊上的高，
∴S_△ABC=

1

2

AB•CH=

1

2

AC•BC，
即

1

2

×10•CH=

1

2

×6×8，
解得CH=4.8cm；

（2）∵矩形EFGD的對邊FG∥DE，
∴△GFC∽△ABC，
∴

CM

CH

=

GF

AB

，
即

4.8-y

4.8

=

x

10

，
整理得，y=-0.48x+4.8；

（3）矩形DEFG的面積為S=x（-0.48x+4.8）=-0.48（x-5）²+12，
∵-0.48＜0，
∴當x=5時，S有最大值為12．

點評：本題考查了相似三角形的應用，二次函數(shù)的最值問題，勾股定理以及三角形的面積，根據(jù)矩形的對邊平行判斷出△GFC和△ABC相似是解題的關鍵，（1）利用同一個三角形的面積的兩種表示列方程求解是常用的方法，要熟練掌握．