Question

有一個(gè)定理：若x₁、x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a、b、c為系數(shù)且為常數(shù)）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x₁+x₂=、x₁•x₂=，這個(gè)定理叫做韋達(dá)定理． 如：x₁、x₂是方程x²+2x-1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x₁+x₂=-2、x₁•x₂=-1． 若x₁，x₂是方程的兩個(gè)實(shí)根．試求：
（1）x₁+x₂與x₁•x₂的值（用含有m的代數(shù)式表示）；
（2）的值（用含有m的代數(shù)式表示）；
（3）若，試求m的值．

Answer 1

解：（1）∵x₁，x₂是方程2x²+（m-1）x-m=0的兩個(gè)實(shí)根，
∴x₁+x₂=-，x₁•x₂==-；

（2）x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=（-）²-2×（-）=；

（3）∵（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=（-）²-4×（-）==1，
解得：m₁=1，m₂=-3，
當(dāng)m=1時(shí)，原方程為：2x²-=0，△=4＞0，符合題意；
當(dāng)m=-3時(shí)，原方程為：2x²-4x+=0，△=4＞0，符合題意；
∴m的值為1或-3．
分析：（1）由x₁，x₂是方程2x²+（m-1）x-m=0的兩個(gè)實(shí)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x₁+x₂=-，x₁•x₂==-；
（2）由x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂，將（1）代入即可求得答案；
（3）由（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂，將（1）代入即可得方程：=1，繼而求得m的值．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式．此題難度較大，注意掌握若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時(shí)，x₁+x₂=-，x₁x₂=知識(shí)的應(yīng)用．