Question

已知四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD邊上的點，DE與CF交于點G．

（1）如圖①，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF，求證；

（2）如圖②，若四邊形ABCD是平行四邊形，試探究：當∠B與∠EGC滿足什么關系時，使得成立？并證明你的結論；

（3）如圖③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD＝90°，DE⊥CF，請直接寫出的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠A＝∠ADC＝90°，由DE⊥CF可得∠ADE＝∠DCF，即可證得△ADE∽△DCF，從而證得結論；（2）當∠B+∠EGC＝180°時；（3）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠A＝∠ADC＝90°，由DE⊥CF可得∠ADE＝∠DCF，即可證得△ADE∽△DCF，從而證得結論；

（2）在AD的延長線上取點M，使CM＝CF，則∠CMF＝∠CFM．根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠A＝∠CDM，再結合∠B+∠EGC＝180°，可得∠AED＝∠FCB，即可證得△ADE∽△DCM，從而證得結論；

（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結合圖形特征求解即可.

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠ADC＝90°，

∵DE⊥CF，

∴∠ADE＝∠DCF，

∴△ADE∽△DCF，

∴；

（2）當∠B+∠EGC＝180°時，成立，證明如下：

在AD的延長線上取點M，使CM＝CF，則∠CMF＝∠CFM．

∵AB∥CD，

∴∠A＝∠CDM，

∵∠B+∠EGC＝180°，

∴∠AED＝∠FCB，

∴∠CMF＝∠AED．

∴△ADE∽△DCM，

∴，即；

（3）．

考點：相似三角形的綜合題

點評：此類問題是初中數(shù)學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.