Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是角平分線，DE⊥AD交AB于E，△ADE的外接圓⊙O與邊AC相交于點(diǎn)F，過F作AB的垂線交AD于P，交⊙O于G，連接GE．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若tan∠G=

4

3

，BE=2，求⊙O的半徑；
（3）在（2）的條件下，求AP的長．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）連結(jié)OD，根據(jù)AD是角平分線，求出∠C=90°，得到OD⊥BC，求出BC是⊙O的切線；
（2）構(gòu)造直角三角形，根據(jù)勾股定理求出k的值即可；
（3）設(shè)FG與AE的交點(diǎn)為M，連結(jié)AG，利用三角函數(shù)和相似三角形結(jié)合勾股定理解題．

解答：（1）證明：連結(jié)OD．
∵DE⊥AD，
∴AE是⊙O的直徑，即O在AE上．
∵AD是角平分線，
∴∠1=∠2．
∵OA=OD，
∴∠2=∠3．
∴∠1=∠3．
∴OD∥AC．
∵∠C=90°，
∴OD⊥BC．
∴BC是⊙O的切線．
（2）解：∵OD∥AC，
∴∠4=∠EAF．
∵∠G=∠EAF，
∴∠4=∠G．
∴tan∠4=x=tan∠G=

4

3

．
設(shè)BD=4k，則OD=OE=3k．
在Rt△OBD中，由勾股定理得（3k）²+（4k）²=（3k+2）²，
解得，k₁=1，k₂=-

1

4

（舍），（注：也可由OB=5k=3k+2得k=1），
∴⊙O的半徑為3．
（3）解：設(shè)FG與AE的交點(diǎn)為M，連結(jié)AG，則∠AGE=90°，∠EGM=∠5．
∴tan∠5=tan∠EGM=

4

3

，即

GM

AM

=

EM

GM

=

4

3

．
∴

AM

EM

=

9

16

，
∴AM=

9

25

AE=

54

25

．
∵OD∥AC，
∴

OD

AC

=

OB

AB

，

CD

AO

=

DB

OB

，即

3

AC

=

5

8

，

CD

3

=

4

5

．
∴AC=

24

5

，CD=

12

5

．
∵∠1=∠2，∠2=∠AMP=90°，
∴△ACD∽△AMP．
∴

PM

AM

=

CD

AC

=

1

2

，
∴PM=

1

2

AM=

27

25

．
∴AP=

PM2+AM2

=

27

25

5

．

點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合題，涉及切線的判定、勾股定理、相似三角形、特殊角的三角函數(shù)值，是綜合題，要注意全面考慮．