Question

16．我們把“有兩條邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形”叫做“同族三角形”，如圖1，在△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，則△ABC和△ABD是“同族三角形”．
（1）如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，點(diǎn)C是弧BD的中點(diǎn)，求證：△ABC和△ACD是同族三角形；
（2）如圖3，△ABC內(nèi)接于⊙O，⊙O的半徑為3$\sqrt{2}$，AB=6，∠BAC=30°，求AC的長(zhǎng)；
（3）如圖3，在（2）的條件下，若點(diǎn)D在⊙O上，△ADC與△ABC是非全等的同族三角形，AD＞CD，求$\frac{AD}{CD}$的值．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)C是弧BD的中點(diǎn)，根據(jù)弧與弦的關(guān)系，易得BC=CD，∠BAC=∠DAC，又由公共邊AC，可證得：△ABC和△ACD是同族三角形；
（2）首先連接OA，OB，作點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，易得△AOB是等腰直角三角形，繼而求得答案；
（3）分別從當(dāng)CD=CB時(shí)與當(dāng)CD=AB時(shí)去分析求解即可求得答案．

解答 （1）證明：∵點(diǎn)C是弧BD的中點(diǎn)，即$\widehat{BC}$=$\widehat{CD}$，
∴BC=CD，∠BAC=∠DAC，
∵AC=AC，
∴△ABC和△ACD是同族三角形；

（2）解：如圖1，連接OA，OB，作點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，
∵OA=OB=3$\sqrt{2}$，AB=6，
∴OA²+OB²=AB²，
∴△AOB是等腰直角三角形，且∠AOB=90°，
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°，
∵∠BAC=30°，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∵CE=BE=3，
∴AC=AE+CE=3$\sqrt{3}$+3；

（3）解：∵∠B=180°-∠BAC-∠ACB=180°-30°-45°=105°，
∴∠ADC=180°-∠B=75°，
如圖2，當(dāng)CD=CB時(shí)，∠DAC=∠BAC=30°，
∴∠ACD=75°，
∴AD=AC=3$\sqrt{3}$+3，CD=BC=$\sqrt{2}$BE=3$\sqrt{2}$，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{3\sqrt{3}+3}{3\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$；
如圖3，當(dāng)CD=AB時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，交AC于點(diǎn)F，
則∠DAC=∠ACB=45°，
∴∠ACD=180°-∠DAC-∠ADC=60°，
∴DF=CD•sin60°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴AD=$\sqrt{2}$DF=3$\sqrt{6}$，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{3\sqrt{6}}{6}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
綜上所述：$\frac{AD}{CD}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于圓的綜合題．考查了圓周角定理、弧與弦的關(guān)系、圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．