Question

3．如圖，BC是⊙O的直徑，點A是$\widehat{BC}$的中點，D為$\widehat{AB}$上一點，DC交AB于E，AF⊥CD于F，AF=2EF，求證：AE=BE．

Answer 1

分析 連接AC，由BC是⊙O的直徑，得到∠BAC=90°，由已知條件得到AB=AC，通過△AEF∽△ACE，得到$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{EF}$，即可得到結(jié)論．

解答 證明：連接AC，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC=90°，
∵點A是$\widehat{BC}$的中點，
∴$\widehat{AB}=\widehat{AC}$，
∴AB=AC，
∵AF⊥CD于F，
∴∠AFE=∠EAC=90°，
∵∠AEF=∠AEC，
∴△AEF∽△ACE，
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{AF}{EF}$，
∵AF=2EF，
∴AC=2AE，
∴AB=2AE，
∴AE=BE．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，連接AC，構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．