Question

4．設(shè)a為實(shí)數(shù)（常數(shù)），已知直線l：y=ax-a-2，過點(diǎn)P（-1，0）作直線l的垂線，垂足為M，點(diǎn)O（0，0）為坐標(biāo)原點(diǎn)，則線段OM長度的最小值為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\sqrt{2}$-1
• C． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
• D． 1

Answer 1

分析 由y=ax-a-2=（x-1）a-2可知直線l必過定點(diǎn)（1，-2），以定點(diǎn)和P點(diǎn)間的線段為圓心，以線段的長為直徑，交y軸于M₁、M₂，則OM₁是OM的最小值，據(jù)此即可得答案．

解答 解：∵y=ax-a-2=（x-1）a-2，
∴當(dāng)a的系數(shù)x-1=0，即x=1時(shí)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，直線y=ax-a-2，都經(jīng)過應(yīng)該定點(diǎn)Q（1，-2），
如圖，以P（-1，0）和Q（1，-2）之間的線段為直徑畫弧，交y軸于M₁、M₂，則OM₁最小，OM₂最大，

∵P（-1，0），Q（1，-2），
∴PQ=$\sqrt{（-1-1）^{2}+（0-2）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴圓心為（0，-1），半徑為$\sqrt{2}$，
∴OM₁=$\sqrt{2}$-1，OM₂=$\sqrt{2}$+1，
∴OM長度的最小值為$\sqrt{2}$-1，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，把握住a的系數(shù)為0得知直線必過的定點(diǎn)，以定點(diǎn)和P點(diǎn)間的線段為圓心，以線段的長為直徑，交y軸于M₁、M₂，得出OM₁是OM的最小值是解題的關(guān)鍵．