Question

17．如圖，拋物線(xiàn)y=x²+2x+k+1與x軸交與A、B兩點(diǎn)，與y軸交與點(diǎn)C（0，-3）．
（1）求拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸及k的值；
（2）求拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)P，使得PA+PC的值最小，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M是拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，且在第三象限．
①當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△AMB的面積最大？求出△AMB的最大面積及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．
②當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AMCB的面積最大？求出四邊形AMCB的最大面積及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由拋物線(xiàn)y=x²+2x+k+1與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），即可將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，解方程即可求得k的值，由拋物線(xiàn)y=x²+2x+k+1即可求得拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為：x=-1；
（2）連接AC交拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，則PA+PC的值最小，求得A與C的坐標(biāo)，設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法即可求得直線(xiàn)AC的解析式，則可求得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）①設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（x，（x+1）²-4），即可得S_△AMB=$\frac{1}{2}$×4×|（x+1）²-4|，由二次函數(shù)的最值問(wèn)題，即可求得△AMB的最大面積及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；
②設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（x，（x+1）²-4），然后過(guò)點(diǎn)M作MD⊥AB于D，由S_{四邊形ABCM}=S_△OBC+S_△ADM+S_梯形OCMD，根據(jù)二次函數(shù)的最值問(wèn)題的求解方法，即可求得四邊形AMCB的最大面積及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵拋物線(xiàn)y=x²+2x+k+1與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），
∴-3=1+k，
∴k=-4，
∴拋物線(xiàn)的解析式為：y=（x+1）²-4，
∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為：直線(xiàn)x=-1；

（2）如圖1，連接AC交拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，則PA+PC的值最小，
當(dāng)y=0時(shí)，（x+1）²-4=0，
解得：x=-3或x=1，
∵A在B的左側(cè)，
∴A（-3，0），B（1，0），
設(shè)直線(xiàn)AC的解析式為：y=kx+b，則
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0\\;}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴直線(xiàn)AC的解析式為：y=-x-3，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=-（-1）-3=-2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（-1，-2）；

（3）如圖2，點(diǎn)M是拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，且在第三象限，
∴-3＜x＜0；
①設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（x，（x+1）²-4），
∵AB=1-（-3）=4，
∴S_△AMB=$\frac{1}{2}$×4×|（x+1）²-4|=2|（x+1）²-4|，
∵點(diǎn)M在第三象限，
∴S_△AMB=8-2（x+1）²，
∴當(dāng)x=-1時(shí)，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，-4）時(shí)，△AMB的面積最大，最大值為8；

②設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（x，（x+1）²-4），
如圖3，過(guò)點(diǎn)M作MD⊥AB于D，則
S_{四邊形ABCM}=S_△OBC+S_△ADM+S_梯形OCMD
=$\frac{1}{2}$×3×1+$\frac{1}{2}$×（3+x）×[4-（x+1）²]+$\frac{1}{2}$×（-x）×[3+4-（x+1）²]
=-$\frac{3}{2}$（x²+3x-4）
=-$\frac{3}{2}$（x+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{75}{8}$，
∴當(dāng)x=-$\frac{3}{2}$時(shí)，y=（-$\frac{3}{2}$+1）²-4=-$\frac{15}{4}$，
即當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）時(shí)，四邊形AMCB的面積最大，最大值為$\frac{75}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值，三角形與四邊形的面積問(wèn)題以及線(xiàn)段和最短問(wèn)題等知識(shí)的綜合應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是運(yùn)用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解．