Question

（2013•大港區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A+∠CDB=90°，過(guò)點(diǎn)A、D作⊙O，使圓心O在AB上，⊙O與AB交于點(diǎn)E．
（Ⅰ）求證：直線(xiàn)BD與⊙A相切；
（Ⅱ）若點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，BC=12，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先連接OD，由OA=OD，可得∠A=∠ODA，又由∠A+∠CDB=90°，則可證得∠ODB=90°，即可判定直線(xiàn)BD與⊙A相切；
（Ⅱ）易證得△CBA∽△CDB，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得AD的長(zhǎng)．

解答：（Ⅰ）證明：連接OD．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
∵∠A+∠CDB=90°，
∴∠ADO+∠CDB=90°，
∴∠ODB=90°，
∴BD為圓的切線(xiàn)．-------------------------------------（4分）

（Ⅱ）解：∵∠CDB+∠CBD=90°，∠A+∠CDB=90°，
∴∠A=∠CBD，
∵∠C是公共角，
∴△CBA∽△CDB，
∴

BC

DC

=

AC

BC

，
∵D為AC的中點(diǎn)，
∴12²=DA•2AD，
∴AD=6

2

．-------------------------（8分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線(xiàn)的判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線(xiàn)的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．