Question

如圖，四邊形OABC為直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．點(diǎn)M從O出發(fā)以每秒2個單位長度的速度向A運(yùn)動；點(diǎn)N從B同時(shí)出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度向C運(yùn)動．其中一個動點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個動點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．過點(diǎn)N作NP垂直x軸于點(diǎn)P，連接AC交NP于Q，連接MQ．

（1）點(diǎn)　　（填M或N）能到達(dá)終點(diǎn)；

（2）求△AQM的面積S與運(yùn)動時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍，當(dāng)t為何值時(shí)，S的值最大；

（3）是否存在點(diǎn)M，使得△AQM為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

解答：

解：（1）點(diǎn)M．（1分）（2）經(jīng)過t秒時(shí)，NB=t，OM=2t，

則CN=3﹣t，AM=4﹣2t，

∵∠BCA=∠MAQ=45°，

∴QN=CN=3﹣t

∴PQ=1+t，（2分）

∴S_△AMQ=AM•PQ=（4﹣2t）（1+t）=﹣t²+t+2．（3分）

∴S=﹣t²+t+2=﹣t²+t﹣++2=﹣（t﹣）²+，（5分）

∵0≤t＜2

∴當(dāng)時(shí)，S的值最大．（6分）（3）存在．（7分）

設(shè)經(jīng)過t秒時(shí)，NB=t，OM=2t

則CN=3﹣t，AM=4﹣2t

∴∠BCA=∠MAQ=45°（8分）

①若∠AQM=90°，則PQ是等腰Rt△MQA底邊MA上的高

∴PQ是底邊MA的中線

∴PQ=AP=MA

∴1+t=（4﹣2t）

∴t=

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0）（10分）

②若∠QMA=90°，此時(shí)QM與QP重合

∴QM=QP=MA

∴1+t=4﹣2t

∴t=1

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）．（12分）