Question

當(dāng)x＝2時(shí)，拋物線y＝ax²＋bx＋c取得最小值－1，并且拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于點(diǎn)A、B．

（1）求該拋物線的關(guān)系式；

（2）若點(diǎn)M（x，y₁），N（x＋1，y₂）都在該拋物線上，試比較y₁與y₂的大小；

（3）D是線段AC的中點(diǎn)，E為線段AC上一動(dòng)點(diǎn)（A、C兩端點(diǎn)除外），過點(diǎn)E作y軸的平行線EF與拋物線交于點(diǎn)F．問：是否存在△DEF與△AOC相似？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，則說明理由．

 

Answer 1

解：（1）由題意可設(shè)拋物線的關(guān)系式為y＝a(x－2)²－1       

因?yàn)辄c(diǎn)C（0，3）在拋物線上

所以3＝a(0－2)²－1，即a＝1          

所以，拋物線的關(guān)系式為y＝(x－2)²－1＝x²－4 x＋3

（2）∵點(diǎn)M（x，y₁），N（x＋1，y₂）都在該拋物線上

∴y₁－y₂＝（x²－4 x＋3）－[(x＋1)²－4(x＋1)＋3]＝3－2 x

當(dāng)3－2 x＞0，即時(shí)，y₁＞y₂        

當(dāng)3－2 x＝0，即時(shí)，y₁＝y₂        

當(dāng)3－2 x＜0，即時(shí)，y₁＜y₂        

（3）令y＝0，即x²－4 x＋3＝0，得點(diǎn)A（3,0），B（1,0），線段AC的中點(diǎn)為D（,）

直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y＝－x＋3

因?yàn)椤?i>OAC是等腰直角三角形，所以，要使△DEF與△OAC相似，△DEF也必須是等腰直角三角形．由于EF∥OC，因此∠DEF＝45°，所以，在△DEF中只可能以點(diǎn)D、F為直角頂點(diǎn)．

①當(dāng)F為直角頂點(diǎn)時(shí)，DF⊥EF，此時(shí)△DEF∽△ACO，DF所在直線為

由，解得，（舍去）

將代入y＝－x＋3，得點(diǎn)E（，）

②當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時(shí)，DF⊥AC，此時(shí)△DEF∽△OAC，由于點(diǎn)D為線段AC的中點(diǎn)，因此，DF所在直線過原點(diǎn)O，其關(guān)系式為y＝x．

解x²－4 x＋3＝x，得，（舍去）

將代入y＝－x＋3，得點(diǎn)E（，）      …………12分