Question

【題目】閱讀下面的題目及分析過(guò)程，并按要求進(jìn)行證明． 已知：如圖，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在DE上，且∠BAE=∠CDE．
求證：AB=CD．
分析：證明兩條線段相等，常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個(gè)三角形中，且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等．因此，要證AB=CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．
現(xiàn)給出如下三種添加輔助線的方法，請(qǐng)任意選擇其中一種，對(duì)原題進(jìn)行證明．

Answer 1

【答案】證明：方法一：作BF⊥DE于點(diǎn)F，CG⊥DE于點(diǎn)G．

∴∠F=∠CGE=90°．

又∵∠BEF=∠CEG，BE=CE，

∴△BFE≌△CGE．

∴BF=CG．

在△ABF和△DCG中，∵∠F=∠DGC=90°，∠BAE=∠CDE，BF=CG，

∴△ABF≌△DCG．

∴AB=CD．

方法二：作CF∥AB，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

∴∠F=∠BAE．

又∵∠ABE=∠D，

∴∠F=∠D．

∴CF=CD．

∵∠F=∠BAE，∠AEB=∠FEC，BE=CE，

∴△ABE≌△FCE．

∴AB=CF．

∴AB=CD．

方法三：延長(zhǎng)DE至點(diǎn)F，使EF=DE．

又∵BE=CE，∠BEF=∠CED，

∴△BEF≌△CED．

∴BF=CD，∠D=∠F．

又∵∠BAE=∠D，

∴∠BAE=∠F．

∴AB=BF．

∴AB=CD．

【解析】證明兩條線段相等，常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個(gè)三角形中，且它們分別所在的兩個(gè)三角形也不全等．因此，要證AB=CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．