Question

如圖，在?ABCD中，點(diǎn)M為邊AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線交AB于點(diǎn)E，連接ME．
（1）若AM=2AE=4，∠BCE=30°，求?ABCD的面積；
（2）若BC=2AB，求證：∠EMD=3∠MEA．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用平行四邊形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)得出CE的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案；
（2）利用全等三角形的判定得出△AEM≌△DNM（ASA），進(jìn)而得出∠EMC=2∠N=2∠AEM，再求出∠EMD=∠EMC+∠CMD=2∠AEM+∠AEM，進(jìn)而得出答案．

解答：（1）解：∵M(jìn)為AD的中點(diǎn)，AM=2AE=4，
∴AD=2AM=8．在?ABCD的面積中，BC=CD=8，
又∵CE⊥AB，∴∠BEC=90°，∵∠BCE=30°，∴BE=

1

2

BC=4，
∴AB=6，CE=4

3

，
∴?ABCD的面積為：AB×CE=6×4

3

=24

3

；

（2）證明：延長(zhǎng)EM，CD交于點(diǎn)N，連接CM．
∵在?ABCD中，AB∥CD，∴∠AEM=∠N，
在△AEM和△DNM中
∵

∠AEM=∠N AM=DM ∠AME=∠DMN

，
∴△AEM≌△DNM（ASA），
∴EM=MN，
又∵AB∥CD，CE⊥AB，
∴CE⊥CD，
∴CM是Rt△ECN斜邊的中線，
∴MN=MC．∴∠N=∠MCN，
∴∠EMC=2∠N=2∠AEM．
∵在平行四邊形ABCD中，BC=AD=2DM，BC=2AB=2CD，
∴DC=MD，
∴∠DMC=∠MCD=∠N=∠AEM，
∴∠EMD=∠EMC+∠CMD=2∠AEM+∠AEM，
即∠EMD=3∠AEM．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．