Question

4．如圖，在兩個直角三角形紙片Rt△ABC和Rt△A₁B₁C₁上可按如圖所示方式各剪出一正方體表面展開圖，正方體展開圖左下角正方形分一組鄰邊都在直角三角形的兩條直角邊上，斜邊恰好經(jīng)過兩個正方形的頂點，已知BC=B₁C₁=24cm，則這兩個展開圖圍成的正方體的棱長之比為（　�。�

• A． 4：5
• B． 3：5
• C． 3：4
• D． 2：3

Answer 1

分析 首先設(shè)這個展開圖圍成的正方體的棱長為x，可得EG=x，ED=3x，F(xiàn)G=3x，BD=x，CD=BC-BD=24-x，易證得△EFG∽△ECD，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得立方體的邊長，再設(shè)這個展開圖圍成的正方體的棱長為xcm，然后延長FE交AC于點D，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，可求得AC的長，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得答案．

解答 解：如圖1，設(shè)這個展開圖圍成的正方體的棱長為x，
則EG=x，ED=3x，F(xiàn)G=3x，BD=x，
∵BC=24，
∴CD=BC-BD=24-x，
∵FG∥BC，
∴△EFG∽△ECD，
∴$\frac{EG}{ED}$=$\frac{GF}{DC}$，
即$\frac{3x}{24-x}$=$\frac{1}{3}$，
解得：x=2.4，
如圖2，設(shè)這個展開圖圍成的正方體的棱長為xcm，
延長FE交AB于點D，
則EF=2xcm，EG=xcm，DF=4xcm，
∵DF∥BC，
∴∠EFG=∠C，
∵tan∠EFG=$\frac{EG}{EF}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠C=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∵BC=24cm，
∴AB=12cm，
∴AD=AB-BD=12-2x（cm）
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴$\frac{DF}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，
即$\frac{4x}{24}$=$\frac{12-2x}{12}$，
解得：x=3，
即這個展開圖圍成的正方體的棱長為3cm，
∴這兩個展開圖圍成的正方體的棱長之比為：2.4：3=4：5．
故選：A．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及剪紙問題等知識，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．