Question

16．在矩形ABCD中，AD=$\sqrt{2}$AB，E為BC邊的中點(diǎn)，過B、C兩點(diǎn)分別作AE的垂線，M、N為垂足，連接CM、AC，則下列結(jié)論：
（1）M為AN的中點(diǎn)；（2）CM=CD；（3）△MCN∽△ACD；（4）∠BCM=∠CAN．
其中正確結(jié)論的是（1）（2）（3）（4）．并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB=CD，則AD=BC=$\sqrt{2}$，由E為BC邊的中點(diǎn)，于是得到BE=CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，由射影定理得：AM=$\frac{A{B}^{2}}{AE}$，EM=$\frac{B{E}^{2}}{AE}$，證得△BME≌△CNE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EM=EN，BM=CN，于是求得MN=2EM=$\frac{2×\frac{1}{2}A{B}^{2}}{AE}$=$\frac{A{B}^{2}}{AE}$，證得M為AN的中點(diǎn)；故（1）正確；
（2）通過△BEM≌△CEN，得到CM=AB，等量代換得到CM=CD；故（2）正確；
（3）由△BEM≌△CEN，得到∠BAM=∠CMN，由于tan∠BAE=$\frac{BE}{AB}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}AB}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，于是得到tan∠NMC=$\frac{CN}{MN}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，推出$\frac{CN}{MN}=\frac{CD}{AD}$，證得△MCN∽△ACD；故（3）正確；
（4）證得△CME∽△ACE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠BCM=∠CAN；故（4）正確．

解答 證明：（1）在矩形ABCD中，AD=$\sqrt{2}$AB，
∵AB=CD，AD=BC=$\sqrt{2}$，
∵E為BC邊的中點(diǎn)，
∴BE=CE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，
∵∠ABC=90°，BM⊥AE，
由射影定理得：AM=$\frac{A{B}^{2}}{AE}$，EM=$\frac{B{E}^{2}}{AE}$，
在△BEM與△CEN中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BME=∠N=90°}\\{∠MEB=∠CEN}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△BME≌△CNE，
∴EM=EN，BM=CN，
∴MN=2EM=$\frac{2×\frac{1}{2}A{B}^{2}}{AE}$=$\frac{A{B}^{2}}{AE}$，
∴AM=MN，
∴M為AN的中點(diǎn)；故（1）正確；
（2）在△ABM與△CMN中，$\left\{\begin{array}{l}{AM=MN}\\{∠AMB=∠N=90°}\\{BM=CN}\end{array}\right.$，
∴△BEM≌△CEN，
∴CM=AB，
∴CM=CD；故（2）正確；
（3）∵△BEM≌△CEN，
∴∠BAM=∠CMN，
∵tan∠BAE=$\frac{BE}{AB}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}AB}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴tan∠NMC=$\frac{CN}{MN}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵$\frac{CD}{AD}=\frac{CD}{\sqrt{2}CD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{CN}{MN}=\frac{CD}{AD}$，
∵∠N=∠D，
∴△MCN∽△ACD；故（3）正確；
（4）∵∠AEC=∠CEM，∠CME=∠DAC=∠ACB，
∴△CME∽△ACE，
∴∠BCM=∠CAN；故（4）正確．
故答案為：（1）（2）（3）（4）．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握各定理是解題的關(guān)鍵．