Question

2．如圖，已知二次函數(shù)y=ax²-4x+c的圖象經過點A（-1，-1）和點B（3，-9）．
（1）求該二次函數(shù)的表達式；
（2）用配方法求該拋物線的對稱軸及頂點坐標；
（3）點C（m，m）與點D均在該函數(shù)圖象上（其中m＞0），且這兩點關于拋物線的對稱軸對稱，求m的值；
（4）在（3）的條件下，試問在該拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使PC+PB的值最小，若存在求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由條件可知點A和點B的坐標，代入解析式可得到關于a和c的二元一次方程組，解得a和c，可寫出二次函數(shù)解析式；
（2）利用對稱軸為x=-$\frac{2a}$，頂點坐標為（-$\frac{2a}$，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$）計算出其頂點坐標即可；
（3）把點的坐標代入可求得m的值．
（4）存在．如圖，由（2）可知C（6，6），作點B關于對稱軸的對稱點B′（1，-9），連接CB′與對稱軸的交點即為所求的點P．求出直線CB′的解析式即可解決問題．

解答 解：（1）將A（-1，-1），B（3，-9）代入，
得$\left\{\begin{array}{l}{a+4+c=-1}\\{9a-12+c=-9}\end{array}\right.$，
∴a=1，c=-6，
∴y=x²-4x-6；

（2）∵-$\frac{2a}$=-$\frac{-4}{2}$=2，$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=$\frac{-24-16}{4}$=-10，
∴對稱軸：直線x=2，頂點坐標：（2，-10）；

（3）∵點P（m，m）在函數(shù)圖象上，
∴m²-4m-6=m，
∴m=6或-1．
∵m＞0，
∴m=6．

（3）存在．如圖，由（2）可知C（6，6），作點B關于對稱軸的對稱點B′（1，-9），連接CB′與對稱軸的交點即為所求的點P．

設直線CB′的解析式為y=kx+b，把A、B代入得到$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=6}\\{k+b=-9}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=3}\\{b=-12}\end{array}\right.$，
∴直線CB′的解析式為y=3x-12，
∴P（2，-6）．
∴當點P坐標為（2，-6）時，PB+PC最�。�

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)、待定系數(shù)法、最短問題等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用對稱解決最值問題，屬于中考壓軸題．