Question

6．如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，并延長AP與DC相交于點(diǎn)Q．
（1）若PA=$\sqrt{2}$，PB=3，PD=$\sqrt{5}$，求∠DPQ的大�。�
（2）若PA+PB+PD的最小值為$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，請直接寫出正方形ABCD的邊長．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，將△PAD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△EAB，利用勾股定理逆定理證明∠PEB=90°，求出∠BEA即可解決問題．
（2）如圖2中，將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△EBQ，連接PQ，AE，作EF⊥DA交DA的延長線于F，當(dāng)E、Q、P、D四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PD最小，設(shè)正方形邊長為a，在RT△EFD中利用勾股定理列出方程即可解決問題．

解答 解：（1）如圖1中，將△PAD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△EAB，
∵PA=AE=$\sqrt{2}$，∠EAP=90°，BE=PD=$\sqrt{5}$，PB=3，
∴PE=$\sqrt{A{E}^{2}+A{P}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=2，
∴BE²+PE²=5+4=9．PB²=3²=9，
∴PB²=BE²+PE²，
∴∠PEB=90°，
∵∠AEP=∠APE=45°，
∴∠APD=∠AEB=45°+90°=135°，
∴∠DPQ=180°-∠APD=45°．
（2）如圖2中，將△ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△EBQ，連接PQ，AE，作EF⊥DA交DA的延長線于F．
當(dāng)E、Q、P、D四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PD最小，這個(gè)最小值就是線段ED的長．
∴DE=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，
∵BE=BA，∠ABE=60°，
∴△ABE是等邊三角形，∠EAB=60°，
∴AE=AB=AD，∠EAD=150°，∠EAF=30°設(shè)正方形邊長為a，
在RT△AEF中，∵∠F=90°，AE=a，∠EAF=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$a，AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
在RT△EFD中，∵EF²+FD²=ED²，
∴（$\frac{1}{2}$a）²+（a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a）²=（$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$）²，
∴a²=4，
∵a＞0，
∴a=2，
∴正方形ABCD邊長為2．

點(diǎn)評 本題考查軸對稱-最短問題、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形，學(xué)會添加輔助線的方法，屬于中考�？碱}型．