Question

如圖，I是△ABC的內心，且AB+BI=AC．若∠ABC=82°，則∠BAC的度數(shù)為

1. A.
   41°
2. B.
   52°
3. C.
   57°
4. D.
   68°

Answer 1

C
分析：在AB上取AD=AB，連接ID，IC，由AB+BI=AC可知CD=IB，根據(jù)IA平分∠BAC證明△ABI≌△ADI，得出ID=IB，可得ID=CD，而IC平分∠ACB，得出∠BCI=∠DCI=∠DIC，證明ID∥BC，得出∠ACB=∠ADI=∠ABI=41°，再根據(jù)三角形內角和定理求解．
解答：解：如圖，在AB上取AD=AB，連接ID，IC，
∵IA平分∠BAC，
∴∠BAI=∠DAI，
在△ABI和△ADI中，
∵，
∴△ABI≌△ADI，∴ID=IB，∠ADI=∠ABI=∠ABC=41°，
∵AD+CD=AC，AB+BI=AC，∴CD=IB，
∴ID=CD，則∠DCI=∠DIC，
又∵IC平分∠ACB，
∴∠BCI=∠DCI=∠DIC，
∴ID∥BC，
∴∠ACB=∠ADI=41°，
在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-82°-41°=57°，
故選C．
點評：本題考查了三角形內心的性質，全等三角形的判定與性質．三角形的內心與三角形三頂點的連線平分三角形的三個內角．