Question

20．如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止．
（1）問(wèn)幾秒后，△PBQ為等腰三角形？
（2）問(wèn)幾秒后，△PDQ的面積等于矩形ABCD的面積的$\frac{5}{8}$？
（3）△PDQ的面積能不能等于26cm²？如果不能，請(qǐng)你求出△PDQ的面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）由運(yùn)動(dòng)先表示出PB，BQ，根據(jù)題意得出PB=BQ．建立方程求解即可；
（2）由運(yùn)動(dòng)先表示出AP，BP，BQ，CQ，再用面積的和差求出S_△PDQ=t²-6t+36，再根據(jù)面積關(guān)系建立方程求解即可；
（3）先假設(shè)能等于26，建立方程，此時(shí)方程無(wú)解，即不能等于26，將（2）的函數(shù)關(guān)系式配方即可求出最小值．

解答 解：（1）在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，
∴∠ABC=90°，
設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，
∴AP=t，BQ=2t，
∴PB=6-t，
∵△PBQ為等腰三角形，
∴PB=BQ，
∴6-t=2t，
∴t=2，
即：t=2秒時(shí)，△PBQ為等腰三角形；
（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，（0＜t＜6）則AP=t，BQ=2t，
∴BP=6-t，CQ=12-2t，
∴S_△PDQ=S_矩形ABCD-（S_△ADP+S_△BPQ+S_△CDQ）
=AB×BC-（$\frac{1}{2}$AP×AD+$\frac{1}{2}$BP×BQ+$\frac{1}{2}$CQ×CD）
=AB×BC-$\frac{1}{2}$（AP×AD+BP×BQ+CQ×CD）
=6×12-$\frac{1}{2}$[t×12+（6-t）×2t+（12-2t）×6]
=t²-6t+36
∵△PDQ的面積等于矩形ABCD的面積的$\frac{5}{8}$，
∴t²-6t+36=$\frac{5}{8}$×6×12，
∴t=3-3$\sqrt{2}$或t=3+3$\sqrt{2}$（舍），
即：t=3-3$\sqrt{2}$，△PDQ的面積等于矩形ABCD的面積的$\frac{5}{8}$；
（3）假設(shè)△PDQ的面積能等于26cm²
由（2）知，S_△PDQ=t²-6t+36，
∴t²-6t+36=26，
∴t²-6t+10=0，
∵△=36-40＜0，
∴此方程無(wú)解，
即：△PDQ的面積不能等于26cm²，
∵S_△PDQ=t²-6t+36=（t-3）²+27，
∴當(dāng)t=3時(shí)，S_△PDQ最小=27cm²．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，三角形的面積公式，等腰三角形的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是用運(yùn)動(dòng)時(shí)間表示出AP，BP，BQ，CQ．