Question

【題目】如圖1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，連接DE，將△EDC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α．

（1）問題發(fā)現(xiàn)
①當(dāng)α=0°時(shí)， =；②當(dāng)α=180°時(shí)， = ．
（2）拓展探究
試判斷：當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)， 的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明．
（3）問題解決
當(dāng)△EDC旋轉(zhuǎn)至A，D，E三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出線段BD的長．

Answer 1

【答案】
（1）；
（2）

解：如圖2，

，

當(dāng)0°≤α＜360°時(shí)， 的大小沒有變化，

∵∠ECD=∠ACB，

∴∠ECA=∠DCB，

又∵ ，

∴△ECA∽△DCB，

∴

（3）

解：①如圖3，

，

∵AC=4 ，CD=4，CD⊥AD，

∴AD= = ，

∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，

∴四邊形ABCD是矩形，

∴ ．

②如圖4，連接BD，過點(diǎn)D作AC的垂線交AC于點(diǎn)Q，過點(diǎn)B作AC的垂線交AC于點(diǎn)P，

，

∵AC=4 ，CD=4，CD⊥AD，

∴AD= = ，

∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，

∴DE= =2，

∴AE=AD﹣DE=8﹣2=6，

由（2），可得

，

∴BD= = ．

綜上所述，BD的長為4 或

【解析】解：（1）①當(dāng)α=0°時(shí)，
∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC= ，
∵點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，
∴ ，
∴ ．
②如圖1，
，
當(dāng)α=180°時(shí)，
可得AB∥DE，
∵ ，
∴ = ．
故答案為： ．
（1）①當(dāng)α=0°時(shí)，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根據(jù)點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，分別求出AE、BD的大小，即可求出 的值是多少．
②α=180°時(shí)，可得AB∥DE，然后根據(jù) ，求出 的值是多少即可．（2）首先判斷出∠ECA=∠DCB，再根據(jù) ，判斷出△ECA∽△DCB，即可求出 的值是多少，進(jìn)而判斷出 的大小沒有變化即可．（3）根據(jù)題意，分兩種情況：①點(diǎn)A，D，E所在的直線和BC平行時(shí)；②點(diǎn)A，D，E所在的直線和BC相交時(shí)；然后分類討論，求出線段BD的長各是多少即可．