Question

18．如圖，在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分別交BC、BD于點(diǎn)E、F，若CE=2，連接CF．以下結(jié)論：①∠BAF=∠BCF；②點(diǎn)E到AB的距離是2$\sqrt{3}$；③S_△CDF：S_△BEF=9：4；④tan∠DCF=$\frac{3}{7}$．其中正確的有（　�。�

• A． 4個
• B． 3個
• C． 2個
• D． 1個

Answer 1

分析 證明△ABF≌△CBF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)判斷①，作EG⊥AB交AB的延長線于G，解直角三角形求出EG，判斷②，根據(jù)三角形的面積公式、相似三角形的性質(zhì)判斷③，作FH⊥CD于H，根據(jù)正切的概念計算，判斷④．

解答 解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴BA=BC，∠ABD=∠CBD，
在△ABF和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BA=BC}\\{∠ABF=∠CBF}\\{BF=BF}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBF，
∴∠BAF=∠BCF，①正確；
作EG⊥AB交AB的延長線于G，
∵AD∥BC，∠DAB=60°，
∴∠EBG=60°，
∴EG=EB×sin∠EGB=2$\sqrt{3}$，②正確；
∵AB=6，CE=2，
∴S_△BEF=2S_△CEF，
∵AD∥BC，
∴$\frac{DF}{FB}$=$\frac{AD}{BE}$=$\frac{3}{2}$，
∴S_△CFD=$\frac{3}{2}$S_△CFB，
∴S_△CDF：S_△BEF=9：4，③正確；
作FH⊥CD于H，
則DH=$\frac{1}{2}$DF=2，F(xiàn)H═2$\sqrt{3}$，
∴tan∠DCF=$\frac{CH}{CH}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，④錯誤，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查的是菱形的性質(zhì)、解直角三角形的應(yīng)用、相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．