Question

如圖，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一點(diǎn)，△ABC為正三角形，D為BC的中點(diǎn)，M為⊙O上一點(diǎn)，并且∠BMC=60°．

（1）求證：AB是⊙O的切線；

（2）若E，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠EDF=120°，⊙O的半徑為2，試問BE+CF的值是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

       （1）證明：連結(jié)OB、OD，如圖1，

∵D為BC的中點(diǎn)，

∴OD⊥BC，∠BOD=∠COD，

∴∠ODB=90°，

∵∠BMC=∠BOC，

∴∠BOD=∠M=60°，

∴∠OBD=30°，

∵△ABC為正三角形，

∴∠ABC=60°，

∴∠ABO=60°+30°=90°，

∴AB⊥OB，

∴AB是⊙O的切線；

（2）解：BE+CF的值是為定值．

作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，連結(jié)AD，如圖2，

∵△ABC為正三角形，D為BC的中點(diǎn)，

∴AD平分∠BAC，∠BAC=60°，

∴DM=DN，∠MDN=120°，

∵∠EDF=120°，

∴∠MDE=∠NDF，

在△DME和△DNF中，

，

∴△DME≌△DNF，

∴ME=NF，

∴BE+CF=BM﹣EM+CN+NF=BM+CN，

在Rt△DMB中，∵∠DBM=60°，

∴BM=BD，

同理可得CN=OC，

∴BE+CF=OB+OC=BC，

∴BE+CF的值是定值，為等邊△ABC邊長的一半．