Question

已知點(diǎn)A（1，）在拋物線y=x²+bx+c上，點(diǎn)F（-，）在它的對(duì)稱軸上，點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

（1）求這條拋物線的函數(shù)解析式；

（2）判斷是否存在直線l，使得線段PF的長(zhǎng)總是等于點(diǎn)P到直線l的距離，需說明理由.

（3）設(shè)直線PF與拋物線的另一交點(diǎn)為Q，探究：PF和QF這兩條線段的倒數(shù)和是否為定值？證明你的結(jié)論.

Answer 1

.⑴ 由=，a=，得b=             

         把b =和點(diǎn)A（1，）代入y=x²+bx+c，可求得c=.

         ∴這條拋物線的解析式是y=x²+x.     

⑵設(shè)點(diǎn)P（x₀，y₀），則y₀=x₀²+x₀.

作PM⊥AF于M，

得 PF²=PM²+MF²

      = (x₀+)²+ (y₀-)²

  又∵y₀=x₀²+x₀

=(x₀+)²-

  ∴(x₀+)²=3y₀+

  ∴PF²=3y₀++ y₀²- y₀+=( y₀+1)².

 易知y₀≥-，y₀+1＞0. ∴PF= y₀+1.      

又∵當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)（0，-1）且與x軸平行時(shí)，

y₀+1即為點(diǎn)P到直線l的距離.

∴存在符合題意的直線l.              

⑶ 是定值.

證明：當(dāng)PF∥x軸時(shí)，PF=QF=，.   

  當(dāng)PF與x軸不平行時(shí)，作QN⊥AF于N，

  ∵ △MFP∽△NFQ，∴.

 再依據(jù)第⑵小題的結(jié)果，可得. 

  整理上式，得 .