Question

（1）如圖1，圓內(nèi)接△ABC中，AB=BC=CA，OD、OE為⊙O的半徑，OD⊥BC于點F，OE⊥AC于點G。求證：陰影部分四邊形OFCG的面積是△ABC的面積的；
（2）如圖2，若∠DOE保持120°角度不變，
求證：當∠DOE繞著點O旋轉(zhuǎn)時，由兩條半徑和△ABC的兩條邊圍成的圖形（圖中陰影部分）面積始終是△ABC的面積的。

Answer 1

證明：（1）如圖1，連接OA，OC；
因為點O是等邊三角形ABC的外心，所以Rt△OFC≌Rt△OGC≌Rt△OGA，
S_OFCG=2S_△OFC=S_△OAC，
因為S_△OAC=S_△ABC，
所以S_OFCG=S_△ABC；
（2）連接OA，OB和OC，
則△AOC≌△COB≌△BOA，∠1=∠2，
設(shè)OD交BC于點F，OE交AC于點G，
∴∠AOC=∠3+∠4=120°，∠DOE=∠5+∠4=120°，
∴∠3=∠5，
在△OAG和△OCF中，∠1=∠2，OA=OC，∠3=∠5，
∴△OAG≌△OCF
∴S_OFCG=S_△OAC=S_△ABC。