Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，PB切⊙O于點B，PA交⊙O于點C，∠APB是平分線分別交BC，AB于點D、E，交⊙O于點F，∠A=60°，并且線段AE、BD的長是一元二次方程 x²-kx+2=0的兩根（k為常數）．
（1）求證：PA•BD=PB•AE；
（2）求證：⊙O的直徑長為常數k；
（3）求tan∠FPA的值．

Answer 1

（1）證明：如圖，
∵PB切⊙O于點B，
∴∠PBD=∠A，
∵PF平分∠APB，
∴∠APE=∠BPD，
∴△PBD∽△PAE，
∴PB：PA=BD：AE，
∴PA•BD=PB•AE；

（2）證明：如圖，
∵∠BED=∠A+∠EPA，∠BDE=∠PBD+∠BPD．
又∵∠PBD=∠A，∠EPA=∠BPD，
∴∠BED=∠BDE．
∴BE=BD．
∵線段AE、BD的長是一元二次方程 x²-kx+2=0的兩根（k為常數），
∴AE+BD=k，
∴AE+BD=AE+BE=AB=k，
即⊙O直徑為常數k．

（3）∵PB切⊙O于B點，AB為直徑．
∴∠PBA=90°．
∵∠A=60°．
∴PB=PA•sin60°=PA，
又∵PA•BD=PB•AE，
∴BD=AE，
∵線段AE、BD的長是一元二次方程 x²-kx+2=0的兩根（k為常數）．
∴AE•BD=2，
即AE²=2，
解得：AE=2，BD=，
∴AB=k=AE+BD=2+，BE=BD=，
在Rt△PBA中，PB=AB•tan60°=（2+）×=3+2．
在Rt△PBE中，tan∠BPF===2-，
∵∠FPA=∠BPF，
∴tan∠FPA=2-．
分析：（1）由PB切⊙O于點B，根據弦切角定理，可得∠PBD=∠A，又由PF平分∠APB，可證得△PBD∽△PAE，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得PA•BD=PB•AE；
（2）易證得BE=BD，又由線段AE、BD的長是一元二次方程 x²-kx+2=0的兩根（k為常數），即可得AE+BD=k，繼而求得AB=k，即：⊙O的直徑長為常數k；
（3）由∠A=60°，并且線段AE、BC的長是一元二次方程 x²-kx+2=0的兩根（k為常數），可求得AE與BD的長，繼而求得tan∠FPB的值，則可得tan∠FPA的值．
點評：此題考查了切線的性質、等腰三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質以及根與系數的關系等知識．此題難度較大，注意掌握數形結合思想與方程思想的應用．