Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點O與原點重合，頂點A、C分別在x、y軸上，反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0，x＞0）的圖象與正方形的兩邊AB、BC分別交于點M、N，ND⊥x軸，垂足為D，連接OM、ON、MN．下列結(jié)論：
①△OCN≌△OAM；
②ON=MN； 
③四邊形DAMN與△MON面積相等；
④若∠MON=45°，MN=2，則點C的坐標(biāo)為（0，

2

+1）．
其中正確結(jié)論的有

 

．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：設(shè)正方形OABC的邊長為a，表示出A，B，C，M，N的坐標(biāo)，利用SAS得到三角形OCN與三角形OAM全等，結(jié)論①正確；利用勾股定理表示出ON與MN，即可對于結(jié)論②做出判斷；利用反比例函數(shù)的性質(zhì)得到三角形OCN與三角形OAM全等，根據(jù)三角形MON面積=三角形OND面積+四邊形ADNM面積-三角形OAM面積，等量代換得到四邊形DAMN與△MON面積相等，結(jié)論③正確；過O作OH垂直于MN，如圖所示，利用ASA得到三角形OCN與三角形OHN全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得到CN=HN=1，求出a的值，確定出C坐標(biāo)，即可對于結(jié)論④做出判斷．

解答：解：設(shè)正方形OABC的邊長為a，
得到A（a，0），B（a，a），C（0，a），M（a，

k

a

），N（

k

a

，a），
在△OCN和△OAM中，

CN=AM= k a ∠OCN=∠OAM=90° OC=OA=a

，
∴△OCN≌△OAM（SAS），結(jié)論①正確；
根據(jù)勾股定理，ON=

OC2+CN2

=

a2+( k a )2

=

1

a

a4+k2

，MN=

2(a- k a )2

=

2

a

|a²-k|，
∴ON和MN不一定相等，結(jié)論②錯誤；
∵S_△ODN=S_△OAM，
∴S_△MON=S_△ODN+S_{四邊形DAMN}-S_△OAM=S_{四邊形DAMN}，結(jié)論③正確；
過點O作OH⊥MN于點H，如圖所示，

∵△OCN≌△OAM，
∴ON=OM，∠CON=∠AOM，
∵∠MON=45°，MN=2，
∴NH=HM=1，∠CON=∠NOH=∠HOM=∠AOM=22.5°，
∴△OCN≌△OHN（ASA），
∴CN=HN=1，
∴

k

a

=1，即k=a，
由MN=

2

a

|a²-k|得，2=

2

a

|a²-a|，
整理得：a²-2a-1=0，
解得：a=

2±2 2

2

=1±

2

（舍去負(fù)值），
∴點C的坐標(biāo)為（0，

2

+1），結(jié)論④正確，
則結(jié)論正確的為①③④，
故答案為：①③④

點評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵．