Question

2．如圖，已知二次函數(shù)的最小值是-8，它的圖象與x軸交于A（-3，0）、B（1，0）兩點，一次函數(shù)y=kx+b（k＞0）的圖象過點C（-1，0），且與該二次函數(shù)的圖象交于P、Q兩點．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）當四邊形APBQ面積為2$\sqrt{33}$時，求這個一次函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的最小值是-8，它的圖象與x軸交于A（-3，0）、B（1，0）兩點，可以求得二次函數(shù)的頂點坐標，然后可以設出二次函數(shù)的頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸交于A（-3，0）、B（1，0）兩點，可以求得二次函數(shù)的頂點式；
（2）由題意可得，四邊形APBQ的面積等于△APB與△ABQ的面積之和，由題意可分別得到它們的面積，再根據(jù)與一次函數(shù)的關系，可以求得k的值，從而可以求得一次函數(shù)的解析式．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)的圖象與x軸交于A（-3，0）、B（1，0）兩點，
∴此二次函數(shù)頂點的橫坐標是：$\frac{-3+1}{2}=-1$，
∴此拋物線的頂點坐標是（-1，-8），
設拋物線的解析式為：y=a（x+1）²-8，
∵點A（-3，0）在二次函數(shù)的圖象上，
∴0=a（-3+1）²-8，
解得a=2，
即這個二次函數(shù)的解析式是y=2（x+1）²-8；
（2）設點P的坐標是（x₁，y₁），點Q的坐標是（x₂，y₂），
∵一次函數(shù)y=kx+b（k＞0）的圖象過點C（-1，0），
∴-k+b=0，得b=k，
∴y=kx+k，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+k}\\{y=2（x+1）^{2}-8}\end{array}\right.$化簡，得2x²+（4-k）x-6-k=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4-k}{2}=\frac{k-4}{2}$，
又∵四邊形APBQ面積為2$\sqrt{33}$，A（-3，0）、B（1，0），點P的坐標是（x₁，y₁），點Q的坐標是（x₂，y₂），
∴$2\sqrt{33}=\frac{[1-（-3）]×（-{y}_{1}+{y}_{2}）}{2}$=$\frac{4×（-k{x}_{1}-k+k{x}_{2}+k）}{2}$=-2k（x₁-x₂）
∴$k（{x}_{2}-{x}_{1}）=\sqrt{33}$，
又∵2x²+（4-k）x-6-k=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4-k}{2}=\frac{k-4}{2}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{-6-k}{2}$，
解得${x}_{2}-{x}_{1}=\frac{\sqrt{{k}^{2}+64}}{2}$
∴$k•\frac{\sqrt{{k}^{2}+64}}{2}=\sqrt{33}$，
解得k=$\sqrt{2}$或k=$-\sqrt{2}$（舍去），
∴這個一次函數(shù)的解析式為：y=$\sqrt{2}x+\sqrt{2}$．

點評 本題考查拋物線與x軸的交點，解題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，明確根與系數(shù)的關系．