Question

【題目】在⊙O中，直徑AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在⊙O上，且OP⊥PQ．

（1）如圖1，當(dāng)PQ∥AB時(shí)，求PQ的長(zhǎng)度；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在BC上移動(dòng)時(shí)，求PQ長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題分析：（1）在Rt△OPB中，由OP=OB·tan∠ABC可求得OP=，連接OQ，在Rt△OPQ中，根據(jù)勾股定理可得PQ的長(zhǎng)；（2）由勾股定理可知OQ為定值，所以當(dāng)當(dāng)OP最小時(shí)，PQ最大．根據(jù)垂線(xiàn)段最短可知，當(dāng)OP⊥BC時(shí)OP最小，所以在Rt△OPB中，由OP=OB·sin∠ABC求得OP的長(zhǎng)；在Rt△OPQ中，根據(jù)勾股定理求得PQ的長(zhǎng)．

試題解析：解：（1）∵OP⊥PQ，PQ∥AB，∴OP⊥AB．

在Rt△OPB中，OP=OB·tan∠ABC=3·tan30°=．

連接OQ，在Rt△OPQ中， ．

（2） ∵

∴當(dāng)OP最小時(shí)，PQ最大，此時(shí)OP⊥BC．

OP=OB·sin∠ABC=3·sin30°=．

∴PQ長(zhǎng)的最大值為．