Question

18．已知拋物線y=ax²，點P、Q為拋物線對稱軸上兩點，且P、Q關于拋物線頂點對稱，過Q點任意作一條直線與拋物線交于A、B兩點，求證：拋物線對稱軸平分∠APB．

Answer 1

分析 過點A作AM⊥y軸于M，過點B作BN⊥y軸于N，如圖，設點A（x₁，y₁）、點B（x₂，y₂）、點Q（0，c），易得點P的坐標為（0，-c），設過點Q的直線為y=kx+c，則y₁=kx₁+c，y₂=kx₂+c，且x₁和x₂是ax²=kx+c即ax²-kx-c=0的兩根，根據(jù)根與系數(shù)的關系可得x₁+x₂=$\frac{k}{a}$，x₁•x₂=-$\frac{c}{a}$，要證拋物線對稱軸平分∠APB（即證∠NPB=∠APM），只需證tan∠NPB=tan∠APM即可．

解答 證明：過點A作AM⊥y軸于M，過點B作BN⊥y軸于N，如圖．
設點A（x₁，y₁）、點B（x₂，y₂）、點Q（0，C），
則有AM=-x₁，BN=x₂．
設過點Q的直線為y=kx+c，
則y₁=kx₁+c，y₂=kx₂+c，
且x₁和x₂是ax²=kx+c即ax²-kx-c=0的兩根，
∴x₁+x₂=-$\frac{-k}{a}$=$\frac{k}{a}$，x₁•x₂=-$\frac{c}{a}$
∵y=ax²的頂點為（0，0），P、Q關于拋物線頂點對稱，
∴點P為（0，-c），
∴MP=y₁-（-c）=y₁+c=kx₁+c+c=kx₁+2c，
NP=y₂-（-c）=y₂+c=kx₂+c+c=kx₂+2c，
∴tan∠APM=$\frac{AM}{MP}$=$\frac{-{x}_{1}}{k{x}_{1}+2c}$，
tan∠NPB=$\frac{BN}{NP}$=$\frac{{x}_{2}}{k{x}_{2}+2c}$，
∴tan∠NPB-tan∠APM
=$\frac{{x}_{2}}{k{x}_{2}+2c}$-$\frac{-{x}_{1}}{k{x}_{1}+2c}$
=$\frac{{x}_{2}（k{x}_{1}+2c）+{x}_{1}（k{x}_{2}+2c）}{（k{x}_{2}+2c）（k{x}_{1}+2c）}$
=$\frac{2k{x}_{1}•{x}_{2}+2c（{x}_{1}+{x}_{2}）}{（k{x}_{1}+c）（k{x}_{2}+c）}$
=$\frac{2k•（-\frac{c}{a}）+2c•\frac{k}{a}}{（k{x}_{1}+c）（k{x}_{2}+c）}$
=0，
∴tan∠NPB=tan∠APM，
∴∠NPB=∠APM，
∴PQ平分∠APB，
∴該拋物線對稱軸平分∠APB．

點評 本題主要考查了拋物線的性質、直線與拋物線的交點問題、三角函數(shù)、根與系數(shù)的關系等知識，是一道通過代數(shù)推理解決幾何問題的好題，運用作差法證到tan∠NPB=tan∠APM是解決本題的關鍵．