Question

【題目】已知：如圖，直線與軸負半軸交于點，與軸正半軸交于點，線段的長是方程的一個根，請解答下列問題：

（1）求點的坐標；

（2）雙曲線與直線交于點，且，求的值；

（3）在（2）的條件下，點在線段上，，直線軸，垂足為，點在直線上，在直線上的坐標平面內是否存在點，使以點、、、為頂點的四邊形是矩形？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）10；（3）或

【解析】

（1）解方程x2-7x-8=0得：x=8，或x=-1，得出OA=8，A（-8，0），代入y=x+b求出b=4，即可得出B（0，4）；
（2）在Rt△AOB中，由勾股定理求出AB= ，過點C作CH⊥x軸于H，則CH∥OB，由平行線得出△AOB∽△AHC，得出，求出CH=5，AH=10，得出OH=2，C（2，5），代入雙曲線得出k=10即可；
（3）先求出點E的坐標，再分三種情況討論計算即可得出結論．

解：(1)解方程得或.

∵線段的長是方程的一個根，

∵的長是正數

∴，

∴．

將代入，得，

∴，

∴．·

（2）在中，，

∴.

如圖，過點作軸于點，則，

∴

∴ 即

解得，

∴，

∴．

∵雙曲線（）經過點，

∴·

（3）存在

①當為以點為頂點的矩形的一邊時，過點作軸于點，作交直線于點，如圖所示，

∴，

∴

∴

∴，

∴，

∴．

∵，

∴設直線的函數表達式為，

把代入，得，

解得，

∴直線的函數表達式為

當時，，

∴，

∴．（注：也可以用三角形相似求解 ∴如圖3

圖3

∵

∴點的坐標為；（點的平移）

當為以點為頂點的矩形的一邊時，同理得出滿足條件的另一點的坐標為；

②當為以點為頂點的矩形的對角線時，點在直線的下方，不符合題意。

∴滿足條件的的坐標為或；