Question

14．在小學(xué)，我們知道正方形具有性質(zhì)“四條邊都相等，四個內(nèi)角都是直角”，請適當(dāng)利用上述知識，解答下列問題：
已知：如圖，在正方形ABCD中，AB=4，點G是射線AB上的一個動點，以DG為邊向右作正方形DGEF，作EH⊥AB于點H．
（1）填空：∠AGD+∠EGH=90°；
（2）若點G在點B的右邊．
①求證：△DAG≌△GHE；
②試探索：EH-BG的值是否為定值，若是，請求出定值；若不是，請說明理由．
（3）連接EB，在G點的整個運動（點G與點A重合除外）過程中，求∠EBH的度數(shù)；若點G是直線AB上的一個動點，其余條件不變，請直接寫出點A與點F之間距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠DGE=90°，由平角的定義即可得到結(jié)論；
（2）①根據(jù)垂直的定義得到∠GHE=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠GEH=∠AGD，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠DAG=90°，DG=GE，求得∠DAG=∠GHE，根據(jù)全等三角形的判定定理即可得到結(jié)論；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AG=EH，根據(jù)線段的和差即可得到結(jié)論；
（3）下面分兩種情況討論：（ I）當(dāng)點G在點B的左側(cè)時，如圖1，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到GH=DA=AB，EH=AG，于是得到GB+BH=AG+GB，推出△BHE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠EBH=45°；（ II） 如圖2，當(dāng)點G在點B的右側(cè)時，根據(jù)全等三角形的想知道的GH=DA=AB，EH=AG，于是得到AB+BG=BG+GH，推出△BHE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠EBH=45°；（ III）當(dāng)點G與點B重合時，如圖3，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到GH=DA=AB，EH=AG=AB，推出△GHE（即△BHE）是等腰直角三角形，于是得到∠EBH=45°即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵四邊形DGEF是正方形，
∴∠DGE=90°，
∴∠AGD+∠EGH=180°-∠DGE=90°，
故答案為：90；

（2）①∵EH⊥AB，
∴∠GHE=90°，
∴∠GEH+∠EGH=90°，
又∠AGD+∠EGH=90°，
∴∠GEH=∠AGD，
∵四邊形ABCD與四邊形DGEF都是正方形，
∴∠DAG=90°，DG=GE，
∴∠DAG=∠GHE，
在△DAG和△GHE中，$\left\{\begin{array}{l}∠DAG=∠GHE\\∠GEH=∠AGD\\ DG=GE\end{array}\right.$，
∴△DAG≌△GHE（AAS）；
②EH-BG的值是定值，
理由如下：
由①證得：△DAG≌△GHE，
∴AG=EH，
又AG=AB+BG，AB=4，
∴EH=AB+BG，EH-BG=AB=4；

（3）下面分兩種情況討論：
（ I）當(dāng)點G在點B的左側(cè)時，如圖1，同（2）①可證得：△DAG≌△GHE，
∴GH=DA=AB，EH=AG，
∴GB+BH=AG+GB，
∴BH=AG=EH，又∠GHE=90°
∴△BHE是等腰直角三角形，
∴∠EBH=45°；
（ II） 如圖2，當(dāng)點G在點B的右側(cè)時，
由（2）①證得：△DAG≌△GHE．
∴GH=DA=AB，EH=AG，
∴AB+BG=BG+GH，
∴AG=BH，又EH=AG
∴EH=HB，又∠GHE=90°
∴△BHE是等腰直角三角形，
∴∠EBH=45°；
（ III）當(dāng)點G與點B重合時，如圖3，同理可證：△DAG≌△GHE，
∴GH=DA=AB，EH=AG=AB，
∴△GHE（即△BHE）是等腰直角三角形，
∴∠EBH=45°
綜上，在G點的整個運動（點G與點A重合除外）過程中，∠EBH都等于45°，
∴點A與點F之間距離的最小值為4．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，證得△DAG≌△GHE是解題的關(guān)鍵．