Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），將該拋物線位于軸上方曲線記作，將該拋物線位于軸下方部分沿軸翻折，翻折后所得曲線記作，曲線交軸于點(diǎn)，連接、．

（1）求曲線所在拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求外接圓的半徑；

（3）點(diǎn)為曲線或曲線上的一個動點(diǎn)，點(diǎn)為軸上的一個動點(diǎn)，若以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；(2) ；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.

【解析】

試題分析：(1) 把化為頂點(diǎn)式，求得該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和開口方向，由翻折可得曲線所在拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和開口方向，即可得曲線的解析式；（2）先求得外接圓圓心的坐標(biāo)，再利用勾股定理求得半徑的長即可；（3）分點(diǎn)P位于曲線M上和點(diǎn)P位于曲線N上兩種情況求點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可.

試題解析：（1）因?yàn)?/span>可化為，

所以拋物線的點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-4），開口向上，

所以曲線所在拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），開口向下，

故曲線所在拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，

即；

（2）因?yàn)閽佄锞�交軸于、兩點(diǎn)，

所以A(-1,0),B(3,0),則線段AB的垂直平分線的直線為x=1，

因?yàn)榍�線交軸于點(diǎn)（0，3），

所以O(shè)C=OB,又∠COB=90°，所以線段BC的垂直平分線為直線y=x，

聯(lián)立 ，解得，所以△ABC的外接圓圓心坐標(biāo)為（1，1），

由勾股定理可得，所以△ABC的外接圓半徑為；

（3）過點(diǎn)C作直線l∥x軸，交曲線M或N于點(diǎn)P，

①當(dāng)點(diǎn)P位于曲線M上時，

由，解得，

所以CP=,H或CP=；

因?yàn)橐渣c(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

所以CP∥BQ且CP=BQ,

所以;

②當(dāng)點(diǎn)P位于曲線N上時，

由，解得(舍去)，

所以CP=2；

因?yàn)橐渣c(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

所以CP∥BQ且CP=BQ,

所以;

綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.