Question

10．如圖，AD，AE分別是△ABC的高和角平分線．
（1）已知∠B=40°，∠C=60°，求∠DAE的度數；
（2）設∠B=α，∠C=β（α＜β）．請用含α、β的代數式表示∠DAE．∠DAE=$\frac{1}{2}$（β-α）．并證明．

Answer 1

分析 （1）根據三角形的內角和等于180°列式求出∠BAC，再根據角平分線的定義求出∠BAE，根據直角三角形兩銳角互余求出∠BAD，然后根據∠DAE=∠BAD-∠BAE代入數據計算即可得解；
（2）根據三角形的內角和等于180°列式表示出∠BAC，再根據角平分線的定義求出∠BAE，根據直角三角形兩銳角互余求出∠BAD，然后根據∠DAE=∠BAD-∠BAE整理即可得解．

解答 解：（1）∵∠B=40°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-60°=80°，
∵AE是角平分線，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×80°=40°，
∵AD是高，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-40°=50°，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=50°-40°=10°；

（2）$\frac{1}{2}$（β-α）．
∵∠B=α，∠C=β（α＜β），
∴∠BAC=180°-（α+β），
∵AE是角平分線，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=90°-$\frac{1}{2}$（α+β），
∵AD是高，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-α，
∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=90°-α-[90°-$\frac{1}{2}$（α+β）]=$\frac{1}{2}$（β-α）．
故答案為：$\frac{1}{2}$（β-α）．

點評 本題考查了三角形的內角和定理，角平分線的定義，直角三角形兩銳角互余的性質，熟練掌握定理與概念并準確識圖理清圖中各角度之間的關系是解題的關鍵．