Question

14．如圖，某拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于A、B兩點(diǎn)
（1）求拋物線的解析式．
（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線BC交于點(diǎn)D，連接AC、AD，求△ACD的面積．
（3）點(diǎn)E為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作y軸的平行線EF，與拋物線交于點(diǎn)F，問是否存在點(diǎn)E，使得以D、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△BCO相似？若存在，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）已知拋物線的頂點(diǎn)，可先將拋物線的解析式設(shè)為頂點(diǎn)式，再將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上面的解析式中，即可確定待定系數(shù)的值，由此得解；
（2）可先求出A、C、D三點(diǎn)坐標(biāo)，求出△ACD的三邊長(zhǎng)后，可判斷出該三角形的形狀，進(jìn)而得到該三角形的面積；
（3）由于直線EF與y軸平行，那么∠OCB=∠FED，若△OBC和△EFD相似，則△EFD中，∠EDF和∠EFD中必有一角是直角，可據(jù)此求出點(diǎn)F的橫坐標(biāo)，再代入直線BC的解析式中，即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答 解：（1）依題意，設(shè)拋物線的解析式為 y=a（x-2）²-1，將C（O，3）代入，
得：a（0-2）²-1=3，解得a=1，
所以拋物線的解析式：y=（x-2）²-1，即y=x²-4x+3；

（2）∵y=x²-4x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴A（1，0）、B（3，0）；
設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+3，代入點(diǎn)B的坐標(biāo)后，得：
3k+3=0，解得k=-1，
∴直線BC：y=-x+3；
∵拋物線y=x²-4x+3的對(duì)稱軸為：x=2，則D（2，1）；
∴AD=$\sqrt{（2-1）^{2}+（1-0）^{2}}$=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，CD=$\sqrt{（2-0）^{2}+（1-3）^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
即：AC²=AD²+CD²，
∴△ACD是直角三角形，且AD⊥CD；
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$AD•CD=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}$×2$\sqrt{2}$=2；

（3）由題意知：EF∥y軸，則∠FED=∠OCB，若△OCB與△FED相似，則有：
①∠DFE=90°，即DF∥x軸；
將點(diǎn)D縱坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，得：
x²-4x+3=1，解得 x=2±$\sqrt{2}$；
當(dāng)x=2+$\sqrt{2}$時(shí)，y=-x+3=1-$\sqrt{2}$；
當(dāng)x=2-$\sqrt{2}$時(shí)，y=-x+3=1+$\sqrt{2}$；
所以E₁（2+$\sqrt{2}$，1-$\sqrt{2}$）、E₂（2-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$）．
②∠EDF=90°；
易知，直線AD：y=x-1，聯(lián)立拋物線的解析式有：
x²-4x+3=x-1，
x²-5x+4=0，
解得 x₁=1、x₂=4；
當(dāng)x=1時(shí)，y=-x+3=2；
當(dāng)x=4時(shí)，y=-x+3=-1；
所以E₃（1，2）、E₄（4，-1）．
綜上，存在符合條件的點(diǎn)E，且坐標(biāo)為：（2+$\sqrt{2}$，1-$\sqrt{2}$）、（2-$\sqrt{2}$，1+$\sqrt{2}$）、（1，2）、（4，-1）．

點(diǎn)評(píng) 此題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到函數(shù)解析式的確定、三角形面積的解法以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)；需要注意的是，已知兩個(gè)三角形相似時(shí)，若對(duì)應(yīng)邊不相同，那么得到的結(jié)果就不一定相同，所以一定要進(jìn)行分類討論．