Question

如圖，拋物線經(jīng)過A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三點．
（1）求拋物線對應的二次函數(shù)關系式；
（2）在直線AC上方拋物線上有一動點D，求使△DCA面積最大的點D的坐標；
（3）x軸上是否存在P點，使得以A、P、C為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵該拋物線過點C（0，-2），
∴可設該拋物線的解析式為y=ax²+bx-2．
將A（4，0），B（1，0）代入，得
，
解得，，
故該二次函數(shù)的解析式為：y=-x²+x-2．

（2）如圖，設D點的橫坐標為t（0＜t＜4），則D點的縱坐標為-t²+t-2．
由題意可求得直線AC的解析式為y=x-2．
∴E點的坐標為（t，t-2）．
∴DE=-t²+t-2-（t-2）=-t²+2t．
∴S_△DAC=×（-t²+2t）×4=-t²+4t=-（t-2）²+4．
∴當t=2時，△DAC面積最大．
∴D（2，1）．

（3）假設存在這樣的點P．
∵A（4，0），C（0，-2），
∴AC=2．
設P（x，0）．
①當AC=PC時，=2，
解得，x=4（不合題意，舍去）或x=4，
即P₁（4，0）；
②當AP=AC時，|x-4|=2，
解得，x=4+2或x=4-2，即P₂（4-2，0）、P₃（4+2，0）；
③當AP=PC時，|x-4|=，
解得，x=，即P₄（，0）．
綜上所述，符合條件的點P的坐標分別是：P₁（4，0）、P₂（4-2，0）、P₃（4+2，0）、P₄（，0）．
分析：（1）本題需先根據(jù)已知條件“該拋物線經(jīng)過C點”，設出該拋物線的解析式為y=ax²+bx-2，再根據(jù)過A，B兩點，即可得出結果．
（2）過D作y軸的平行線交AC于E，將△DCA分割成兩個三角形△CDE，△ADE，它們的底相同，為DE，高的和為4，就可以表示它們的面積和，即△DCA的面積，運用代數(shù)式的變形求最大值．
（3）需要分類討論：當AC=PC、AP=AC、AP=PC時，分別求得點P的坐標．
點評：本題考查了拋物線解析式的求法，拋物線與相似三角形的問題，坐標系里表示三角形的面積及其最大值問題，要求會用字母代替長度，坐標，會對代數(shù)式進行合理變形．