Question

【題目】如圖，△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=6．P是底邊BC上的一個動點（P與B、C不重合），以P為圓心，PB為半徑的⊙P與射線BA交于點D，射線PD交射線CA于點E．

（1）若點E在線段CA的延長線上，設BP=x，AE=y，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出x的取值范圍．

（2）當BP=時，試說明射線CA與⊙P是否相切．

（3）連接PA，若S△APE=S△ABC，求BP的長．

Answer 1

【答案】（1）（0＜x＜）；（2）相切；（3）或或．

【解析】（1）過A作AF⊥BC于F，過P作PH⊥AB于H，∵∠BAC=120°，AB=AC=6，∴∠B=∠C=30°，∵PB=PD，∴∠PDB=∠B=30°，CF=ACcos30°=6×=，∴∠ADE=30°，∴∠DAE=∠CPE=60°，∴∠CEP=90°，∴CE=AC+AE=6+y，∴PC==，∵BC=，∴PB+CP= =，∴，∵BD=2BH=x＜6，∴x＜，∴x的取值范圍是0＜x＜；

（2）相切．理由如下：

∵BP=，∴CP=，∴PE=PC==PB，∴射線CA與⊙P相切；

（3）當D點在線段BA上時，連接AP，∵S△ABC=BCAF==，∵S△APE=AEPE=y×（6+y）=S△ABC=，解得：y=，代入得x=．

當D點BA延長線上時，PC=EC=（6﹣y），∴PB+CP=x+（6﹣y）=，∴，∵∠PEC=90°，∴PE===（6﹣y），∴S△APE=AEPE=x=y（6﹣y）=S△ABC=，解得y=或，代入得x=或．

綜上可得，BP的長為或或．