Question

5．如圖所示，已知△ABC面積為l，點D、E、F分別在BC、CA、AB上，且BD=2DC，CE=2EA，AF=2FB，AD、BE、CF兩兩相交于P、Q、R，則△PQR的面積為（　�。�

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{1}{6}$
• C． $\frac{1}{7}$
• D． $\frac{1}{14}$

Answer 1

分析 連接BR，設△CDR的面積為a，△BRF的面積為b，利用S_△CDR+S_△BDR+S_△BRF=$\frac{1}{3}$，S_△BDR+S_△BRF+S_△ARF=$\frac{2}{3}$，列出方程組求出a的值，同理可求出S_△APE=S_△BFQ，利用S_△PQR=S_△BCE-（S_△BCF-S_△BFQ）-（S_△ACD-S_△APE-S_△CDR）求解即可得出答案．

解答 解：連接BR，設△CDR的面積為a，△BRF的面積為b，

∵BD=2DC，AF=2FB，
∴△BDR的面積為2a，△ARF的面積為2b，
∵已知△ABC面積為l，
∴S_△CDR+S_△BDR+S_△BRF=$\frac{1}{3}$，S_△BDR+S_△BRF+S_△ARF=$\frac{2}{3}$
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+2a+b=\frac{1}{3}}\\{2a+b+2b=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{21}}\\{b=\frac{4}{21}}\end{array}\right.$，
∴△CDR的面積為$\frac{1}{21}$，
同理可得S_△APE=S_△BFQ=$\frac{1}{21}$，
S_△PQR=S_△BCE-（S_△BCF-S_△BFQ）-（S_△ACD-S_△APE-S_△CDR）=$\frac{2}{3}$-$\frac{1}{3}$+S_△BFQ-$\frac{1}{3}$+S_△APE+S_△CDR=S_△BFQ+S_△APE+S_△CDR=$\frac{1}{21}$×3=$\frac{1}{7}$．
故選：C．

點評 本題主要考查了面積與等積變換，解題的關鍵是正確作出輔助線，求出S_△BFQ=S_△APE=S_△CDR=$\frac{1}{21}$．