Question

已知拋物線y=ax²+（2-a）x-2（a＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側），與y軸交于點C．給出下列結論：
①在a＞0的條件下，無論a取何值，點A是一個定點；
②在a＞0的條件下，無論a取何值，拋物線的對稱軸一定位于y軸的左側；
③y的最小值不大于-2；
④若AB=AC，則a=

1+ 5

2

．
其中正確的結論有（　　）個．

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：①利用拋物線兩點式方程進行判斷；
②根據根的判別式來確定a的取值范圍，然后根據對稱軸方程進行計算；
③利用頂點坐標公式進行解答；
④利用兩點間的距離公式進行解答．

解答：解：①y=ax²+（2-a）x-2=（x-1）（ax+2）．則該拋物線恒過點A（1，0）．故①正確；
②∵y=ax²+（2-a）x-2（a＞0）的圖象與x軸有2個交點，
∴△=（2-a）²+8a=（a+2）²＞0，
∴a≠2．
∴該拋物線的對稱軸為：x=

a-2

2a

=

1

2

-

1

a

．無法判定的正負．
故②不一定正確；
③y_最小=

8a-(a-2)2

4a

=-

(a+2)2

4a

≤-

4×4a

4a

=-4，則y的最小值不大于-4．故③錯誤；
④∵A（1，0），B（-

2

a

，0），C（0，-2），
∴當AB=AC時，

(1+ 2 a )2

=

12+(-2)2

，
解得 a=

1+ 5

2

．故④正確．
綜上所述，正確的結論有2個．
故選：B．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點．解題時，需要熟悉拋物線的性質．