Question

10．如圖，菱形ABCD，過點B作直線BE，使得∠ABE=∠BCA，分別交AC、AD于點F、E．若AB=CF．則$\frac{AE}{AD}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 設(shè)AB=CF=a，AF=b，由△ABF∽△ACB得$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AF}{AB}$，所以a²=b（a+b），求出b、a之間的關(guān)系，再利用AE∥BC，得$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{FC}$即可解決問題．

解答 解：設(shè)AB=CF=a，AF=b，
∵∠BAF=∠BAC，∠ABF=∠ACB，
∴△ABF∽△ACB，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AF}{AB}$，
∴a²=b（a+b），
∴b²+ba-a²=0，
∴b=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$a（或b=$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$a舍棄），
∴$\frac{a}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AE∥BC，∴AD=BC，
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{AF}{FC}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故答案為$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點評 本題考查菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是相似三角形性質(zhì)的正確應(yīng)用，利用方程思想解決問題，是數(shù)形結(jié)合的好題目，所以中考�？碱}型．