Question

17．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，BD=6，AD=3$\sqrt{3}$，則∠AOD=120度．

Answer 1

分析 由矩形的性質(zhì)可推出∠ABC=90°，由特殊角的銳角三角函數(shù)值可求出∠ACB=30°，根據(jù)矩形性質(zhì)求出OB=OC，求出∠OBC和∠OCB的度數(shù)，求出∠BOC，即可求出∠AOD．

解答 證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°（矩形的四個(gè)角都是直角），BD=AC，AD=BC，
∵在Rt△ABC中，BD=6，AD=3$\sqrt{3}$，
∴cos∠ACB=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠ACB=30°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，OC=OA=AC，AC=BD，
∴BO=CO，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∵∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，
∴∠BOC=120°，
∴∠AOD=∠BOC=120°，
故答案為：120．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形性質(zhì)，矩形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．