Question

5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：已知點(diǎn)A（2，3），點(diǎn)B（6，3），連接AB．如果線段AB上有一個(gè)點(diǎn)與點(diǎn)P的距離不大于1，那么稱點(diǎn)P是線段AB的“環(huán)繞點(diǎn)”．
（1）已知點(diǎn)C（3，1.5），D（4，3.5），E（1，3），則是線段AB的“環(huán)繞點(diǎn)”的點(diǎn)是點(diǎn)D和E；
（2）已知點(diǎn)P（m，n）在反比例函數(shù)y=$\frac{8}{x}$的圖象上，且點(diǎn)P是線段AB的“環(huán)繞點(diǎn)”，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)m的取值范圍；
（3）已知⊙M上有一點(diǎn)P是線段AB的“環(huán)繞點(diǎn)”，且點(diǎn)M（4，1），求⊙M的半徑r的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)A、B的縱坐標(biāo)相等判斷出AB∥x軸，然后求出點(diǎn)C、D、E到AB的距離，再根據(jù)“環(huán)繞點(diǎn)”的定義判斷；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的上方，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的下方，根據(jù)點(diǎn)P到線段AB的距離為1時(shí)，即可得到結(jié)論；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的下方時(shí)，且到線段AB的最小距離是1時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的上方時(shí)，且到點(diǎn)A的距離是1時(shí)，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）由“環(huán)繞點(diǎn)”的定義可知：點(diǎn)P到直線AB的距離d應(yīng)滿足：d≤1，
∵A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是3，
∴AB∥x軸，
∴點(diǎn)C到直線AB的距離為|1.5-3|=1.5＞1，
點(diǎn)D到直線AB的距離為|3.5-3|=0.5＜1，
點(diǎn)E到直線AB的距離為|3-3|=0＜1，
∴點(diǎn)D和E是線段AB的環(huán)繞點(diǎn)；
故答案為：點(diǎn)D和E；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的上方，點(diǎn)P到線段AB的距離為1時(shí)，m=2；
當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的下方，點(diǎn)P到線段AB的距離為1時(shí)，m=4；
所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)m的取值范圍為：2≤m≤4；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的下方時(shí)，且到線段AB的最小距離是1時(shí)，r=1；
當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的上方時(shí)，且到點(diǎn)A的距離是1時(shí)，如圖，過M作MC⊥AB，
則CM=2，AC=2，
連接MA并延長交⊙M于P，
則PA=1，
∴MP=2$\sqrt{2}$+1，即r=2$\sqrt{2}$+1．
∴⊙M的半徑r的取值范圍是1≤r≤2$\sqrt{2}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，讀懂題目信息，理解“環(huán)繞點(diǎn)”的定義是解題的關(guān)鍵．