Question

11．如圖，四邊形ABCO是平行四邊形，AB=4，OB=2，拋物線過A、B、C三點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)D．一動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從B點(diǎn)出發(fā)沿BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A停止，同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，與點(diǎn)P同時(shí)停止，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到B，C兩點(diǎn)的距離之和最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）若拋物線的對(duì)稱軸與AB交于點(diǎn)E，與x軸交于點(diǎn)F，求當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形POQE是等腰梯形？
（4）求當(dāng)t為何值時(shí)，以P、B、O為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q、B、O為頂點(diǎn)的三角形相似？

Answer 1

分析 （1）求得A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式即可；
（2）設(shè)BD與對(duì)稱軸交于一點(diǎn)，則該點(diǎn)為所求的M點(diǎn)，求直線BD的解析式，即可得出點(diǎn)M坐標(biāo)；
（3）求得拋物線的對(duì)稱軸，欲使四邊形POQE為等腰梯形，求得t的值即可；
（4）欲使以點(diǎn)P、B、O為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q、B、O為頂點(diǎn)的三角形相似，分兩種情況討論：由條件可以從△PBO∽△QOB或△PBO∽△BOQ進(jìn)行計(jì)算，①若P、Q在y軸的同側(cè)；②若P、Q在y軸的異側(cè)，分別得出t的值，從而得出以P、B、O為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q、B、O為頂點(diǎn)的三角形相似．

解答 解：（1）∵四邊形ABCO是平行四邊形，
∴OC=AB=4．∴A（4，2），B（0，2），C（-4，0）．
∵拋物線y=ax²+bx+c過點(diǎn)B，
∴c=2．
由題意，有$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+2=0}\\{16a+4b+2=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{16}}\\{b=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
∴所求拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{1}{4}$x+2．             
（2）連BD與對(duì)稱軸交于一點(diǎn)，則該點(diǎn)為所求的M點(diǎn)，
易求直線BD的解析式為y=-$\frac{1}{4}$x+2，拋物線對(duì)稱軸為直線x=2．
當(dāng)x=2時(shí)，y=$\frac{3}{2}$，∴M（2，$\frac{3}{2}$）．
（3）將拋物線的解析式配方，得y=-$\frac{1}{16}$（x-2）²+2$\frac{1}{4}$，
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=2．
∴D（8，0），E（2，2），F(xiàn)（2，0）．
欲使四邊形POQE為等腰梯形，
則有OP=QE．即BP=FQ．∴t=6-3t，即t=$\frac{3}{2}$．
（4）欲使以點(diǎn)P、B、O為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)Q、B、O為頂點(diǎn)的三角形相似，
∵∠PBO=∠BOQ=90°，
∴有$\frac{BP}{OB}$=$\frac{OQ}{BO}$或$\frac{BP}{OB}$=$\frac{BO}{OQ}$，即PB=OQ或OB²=PB•QO．
①若P、Q在y軸的同側(cè)．當(dāng)BP=OQ時(shí)，t=8-3t，∴t=2．
當(dāng)OB²=PB•QO時(shí)，t（8-3t）=4，即3t²-8t+4=0．解得t₁=2，t₂=$\frac{2}{3}$．
②若P、Q在y軸的異側(cè)．當(dāng)PB=OQ時(shí)，3t-8=t，∴t=4．
當(dāng)OB²=PB•QO時(shí)，t（3t-8）=4，即3t²-8t-4=0．解得t=$\frac{4±2\sqrt{7}}{3}$．
∵t=$\frac{4-2\sqrt{7}}{3}$＜0．故舍去．
∴t=$\frac{4+2\sqrt{7}}{3}$．
∴當(dāng)t=2或t=$\frac{2}{3}$或t=4或t=$\frac{4+2\sqrt{7}}{3}$秒時(shí)，以P、B、O為頂點(diǎn)的三角形與Q、B、O為頂點(diǎn)的三角形相似．

點(diǎn)評(píng) 本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)和等腰梯形的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用及數(shù)學(xué)分類思想的運(yùn)用．