Question

如圖，一次函數(shù) 的圖像與 軸、軸分別相交于點(diǎn) 、．二次函數(shù)的圖像與 軸的正半軸相交于點(diǎn)，與這個(gè)一次函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)、，．

（1） 求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）如果，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．

 

Answer 1

【答案】

（1）點(diǎn)的坐標(biāo)（0，3）（2）

【解析】（1）（，0），，                                              （1分）

        在Rt△中，∵，，              （2分）

   ∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)（0，3）．             （1分）

（2）當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，

∵（0，1），

∴，

∴，

∵ ，，

∴△∽△．                                               （1分）

∴，

∴，

∴．                                                     （1分）

    過(guò)點(diǎn)作⊥軸，垂足為，

∵ //，

∴，

∴．

∴，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，5）．                                           （1分）

設(shè)二次函數(shù)的解析式為，∴             （1分）

∴

∴二次函數(shù)解析式為．                              （1分）

當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，同理可求得點(diǎn)，                    （2分）

二次函數(shù)解析式為．                                   （1分）

評(píng)分說(shuō)明：過(guò)點(diǎn)作于，當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上或點(diǎn)在射線上時(shí)，可用銳

角三角比等方法得（1分），（1分），另外分類有1分其余同上．

（1）先求出A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），則OA=1，OB=1，AB=，再根據(jù)正弦的定義得sin∠ACB=，而AC=，則OA=，然后根據(jù)勾股定理可計(jì)算出OC=3，從而確定點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）；

（2）分類討論：當(dāng)點(diǎn)D在AB延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸，垂足為E，由于∠CDB=∠ACB，∠BAC=∠CAD，根據(jù)相似的判定得△ABC∽△ACD，則AD：AC=AC：AB，即AD：=：，可計(jì)算出AD=5，易得ADE為等腰直角三角形，則DE=AE=AD=×5=5，OE=4，得到點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，5），然后設(shè)一般式，利用待點(diǎn)系數(shù)法求過(guò)A（-1，0）、C（0，3）、D（4，5）的二次函數(shù)的解析式；當(dāng)點(diǎn)D在射線BA上，如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸，垂足為E，與前面的解法相同．