Question

如圖，在△ABC和△DEC中，∠ABC=∠DEC=90°，連接AD交射線EB于F，過A作AG∥DE交射線EB于點(diǎn)G，點(diǎn)F恰好是AD中點(diǎn)．
（1）求證：△AFG≌△DFE；
（2）若BC=CE，
①求證：∠ABF=∠DEF；
②若∠BAC=30°，試求∠AFG的度數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)平行線性質(zhì)可得∠DEF=∠G，即可證明△AFG≌△DFE，即可解題；
（2）①易證∠CBE=∠CEB，根據(jù)∠ABF+∠CBE=90°，∠CEB+∠DEF=90°即可解題；
②易證∠ABF=∠G，即可求得∠G大小，再根據(jù)△AGF≌△DEF可得DE=AB，即可證明△ABC≌△DEC，可得AC=CD，∠BAC=∠EDC，即可求得∠ACD=∠BAC=30°，進(jìn)而可以求得∠CAD的值，即可解題．

解答：（1）證明：∵AG∥DE，
∴∠G=∠DEF，
∵△AGF和△DEF中，

∠G=∠DEF ∠AFG=∠DFE AF=DF

，
∴△AGF≌△DEF，（AAS）
（2）①證明：∵BC=CE，
∴∠CBE=∠CEB，
∵∠ABF+∠CBE=90°，∠CEB+∠DEF=90°，
∴∠ABF=∠DEF；
②∵△AGF≌△DEF，
∴∠G=∠DEF，
∵∠ABF=∠DEF，
∴∠ABF=∠G，
∴AG=AB，
∵△AGF≌△DEF，
∴AG=DE，
∴DE=AB，
∵△ABC和△DEC中，

AB=DE ∠ABC=∠DEC BC=CE

，
∴△ABC≌△DEC，（SAS）
∴AC=CD，∠BAC=∠EDC，
∵AC∥DE，
∴∠EDC=∠ACD，
∴∠ACD=∠BAC=30°，
∴∠CAD=75°，
∵∠ABF=∠G，∠BAC=30°，
∴∠G=15°，
∵∠CAD=∠G+∠AFG，
∴∠AFG=60°．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△AGF≌△DEF和△ABC≌△DEC是解題的關(guān)鍵．