Question

6．如圖，在⊙O中，AB為直徑，BC為⊙O的切線，D為⊙O上一點，AD的延長線與切線BC交于點C，E是BC的中點，連接DE，BD．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若tanC=$\frac{1}{2}$，DE=x，△ABD的面積為y，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)圓周角定理得出BD⊥AC，然后根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出DE=BE，根據(jù)等邊對等角得出∠EBD=∠EDB，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和切線的性質(zhì)即可證得OD⊥DE，從而證得DE是⊙O的切線；
（2）根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出BC=2x，然后根據(jù)已知和勾股定理求得BD，進(jìn)而求得AD，從而根據(jù)三角形面積公式求得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

解答 （1）證明：∵AB為直徑，
∴BD⊥AC，
∵E是BC的中點，
∴DE=BE，
∴∠EBD=∠EDB，
∵BC為⊙O的切線，
∴∠ABE=90°，
∴∠EBD+∠ABD=90°，
連接OD，
∵OD=OB，
∴∠ABD=∠ODB，
∴∠EDB+∠ODB=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切線；
（2）∵DE=x，
∴BC=2x，
∵tanC=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴CD=2BD，
∵CD²+BD²=BC²，
∴（2BD）²+BD²=4x²，
∴BD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，
∵∠ADB=∠ABC=90°，
∴∠C=∠ABD，
∴tan∠ABD=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$x，
∴y=$\frac{1}{2}$AD•BD=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$x•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x=x²，
即y=x²．

點評 本題考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等，證明某一線段是圓的切線時，一般情況下是連接切點與圓心，通過證明該半徑垂直于這一線段來判定切線．