Question

18．如圖，圓心角為120°的扇形OMN，繞著正六邊形ABCDEF的中心O旋轉，OM交AB于H，ON交CD于K，OM＞OA．
（1）證明：△AOH≌△COK；
（2）若AB=6，求正六邊形ABCDEF與扇形OMN重疊部分的面積．

Answer 1

分析 （1）利用正六邊形的性質得出△OBC，△OAB都是等邊三角形，進而得出AO=CO，∠AOH=∠COK，∠OAH=∠OCK=60°，即可得出全等三角形；
（2）過點O作OG⊥BC于點G，利用全等三角形的性質以及正六邊形性質得出正六邊形ABCDEF與扇形OMN重疊部分的面積為：S_△AOB+S_△OBC=2S_OBC進而得出答案．

解答 （1）證明：∵圓心角120°的扇形OMN，繞著正六邊形ABCDEF的中心O旋轉，
∴△OBC，△OAB都是等邊三角形，
∴AO=CO，∠AOH=∠COK，∠OAH=∠OCK=60°，
在△AOH和△COK中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOH=∠COK}&{\;}\\{OA=OC}&{\;}\\{∠OAH=∠OCK}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOH≌△COK（ASA）；
（2）解：過點O作OG⊥BC于點G，如圖所示：
∵△OBC是等邊三角形，
∴BG=CG=3，CO=6，
∴OG=3$\sqrt{3}$，
∵△AOH≌△COK，
∴S_△AOH=S_△COK，
∴正六邊形ABCDEF與扇形OMN重疊部分的面積為：
S_△AOB+S_△OBC=2S_OBC=2×$\frac{1}{2}$×6×3$\sqrt{3}$=18$\sqrt{3}$．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質以及正六邊形的性質；證明三角形全等是解決問題的關鍵．