Question

10．如圖，已知⊙A過原點(diǎn)O且與x軸交于點(diǎn)C（6，0），與y軸交于點(diǎn)B（0，8），P為圓上第一象限的點(diǎn)，連結(jié)OP，PC，設(shè)過點(diǎn)O，C的拋物線的頂點(diǎn)為D，若存在以O(shè)，C，D為頂點(diǎn)的三角形與△OCP相似，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{192}{25}$，$\frac{144}{25}$）．

Answer 1

分析 如圖，連接BC、PC，作PH⊥OC于H．因?yàn)镈是拋物線的頂點(diǎn)，所以O(shè)D=CD，因?yàn)椤鱋CP由△OCD相似，推出OC=PC，推出$\widehat{OC}$=$\widehat{PC}$，
推出∠CBO=∠CBP=∠POC，于tan∠POH=tan∠CBO=$\frac{OC}{BO}$=$\frac{3}{4}$=$\frac{PH}{OH}$，設(shè)PH=3k，OH=4k，在Rt△PCH中，根據(jù)PC²=PH²+CH²列出方程即可解決問題．

解答 解：如圖，連接BC、PC，作PH⊥OC于H．

∵D是拋物線的頂點(diǎn)，
∴OD=CD，
∵△OCP由△OCD相似，
∴OC=PC，
∴$\widehat{OC}$=$\widehat{PC}$，
∴∠CBO=∠CBP=∠POC，
∵點(diǎn)C（6，0），點(diǎn)B（0，8），
∴OC=CP=6，OB=8，
∴tan∠POH=tan∠CBO=$\frac{OC}{BO}$=$\frac{3}{4}$=$\frac{PH}{OH}$，設(shè)PH=3k，OH=4k，
在Rt△PCH中，∵PC²=PH²+CH²，
∴6²=（3k）²+（4k-6）²，
∴k=$\frac{48}{25}$，
∴OH=4k=$\frac{192}{25}$，PH=3k=$\frac{144}{25}$，
∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（$\frac{192}{25}$，$\frac{144}{25}$）．
故答案為（$\frac{192}{25}$，$\frac{144}{25}$）．

點(diǎn)評 本題考查拋物線由x軸的交點(diǎn)、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，圓周角定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會用方程的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．