Question

8．如圖，已知⊙O過正方形ABCD的頂點A、D，且與BC邊相切，若⊙O的半徑為1，則正方形的邊長為$\frac{8}{5}$．

Answer 1

分析 設正方形邊長為a，⊙O與BC相切于點E，連接EO、OD，延長EO交AD于F，在RT△DOF中利用勾股定理即可解決問題．

解答 解：設正方形邊長為a，⊙O與BC相切于點E，連接EO、OD，延長EO交AD于F．
∵BC是切線，
∴OE⊥BC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠ADC=∠C=90°，
∴OF⊥AD，
∴AF=DF=$\frac{1}{2}$a，
∵∠EFD=∠FDC=∠C=90°，
∴四邊形EFDC是矩形，
∴EF=CD=a，
∴OF=EF-OE=a-1，
在RT△ODF中．∵∠OFD=90°，OD=1，OF=a-1，DF=$\frac{1}{2}$a，
∴1=（a-1）²+（$\frac{1}{2}$a）²，
∴a=$\frac{8}{5}$（或0不合題意舍棄）．
∴正方形的邊長為$\frac{8}{5}$．
故答案為$\frac{8}{5}$．

點評 本題考查切線的性質、正方形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是添加輔助線構造直角三角形，把問題轉化為方程去解決，屬于中考�？碱}型．