Question

17．如圖，已知拋物線經(jīng)過原點O，頂點為A（1，1），且與直線y=x-2交于B，C兩點．
（1）求拋物線的解析式及點C的坐標；
（2）求證：△ABC是直角三角形；
（3）若點N為x軸上的一個動點，過點N作MN⊥x軸與拋物線交于點M，則是否存在以O，M，N為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）可設頂點式，把原點坐標代入可求得拋物線解析式，聯(lián)立直線與拋物線解析式，可求得C點坐標；
（2）分別過A、C兩點作x軸的垂線，交x軸于點D、E兩點，結合A、B、C三點的坐標可求得∠ABO=∠CBO=45°，可證得結論；
（3）設出N點坐標，可表示出M點坐標，從而可表示出MN、ON的長度，當△MON和△ABC相似時，利用三角形相似的性質(zhì)可得$\frac{MN}{AB}$=$\frac{ON}{BC}$或$\frac{MN}{BC}$=$\frac{ON}{AB}$，可求得N點的坐標．

解答 解：
（1）∵頂點坐標為（1，1），
∴設拋物線解析式為y=a（x-1）²+1，
又拋物線過原點，
∴0=a（0-1）²+1，解得a=-1，
∴拋物線解析式為y=-（x-1）²+1，
即y=-x²+2x，
聯(lián)立拋物線和直線解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x}\\{y=x-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴B（2，0），C（-1，-3）；
（2）如圖，分別過A、C兩點作x軸的垂線，交x軸于點D、E兩點，

則AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，
∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）假設存在滿足條件的點N，設N（x，0），則M（x，-x²+2x），
∴ON=|x|，MN=|-x²+2x|，
由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分別求得AB=$\sqrt{2}$，BC=3$\sqrt{2}$，
∵MN⊥x軸于點N
∴∠ABC=∠MNO=90°，
∴當△ABC和△MNO相似時有$\frac{MN}{AB}$=$\frac{ON}{BC}$或$\frac{MN}{BC}$=$\frac{ON}{AB}$，
①當$\frac{MN}{AB}$=$\frac{ON}{BC}$時，則有$\frac{|-{x}^{2}+2x|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|x|}{3\sqrt{2}}$，即|x||-x+2|=$\frac{1}{3}$|x|，
∵當x=0時M、O、N不能構成三角形，
∴x≠0，
∴|-x+2|=$\frac{1}{3}$，即-x+2=±$\frac{1}{3}$，解得x=$\frac{5}{3}$或x=$\frac{7}{3}$，
此時N點坐標為（$\frac{5}{3}$，0）或（$\frac{7}{3}$，0）；
②當$\frac{MN}{BC}$=$\frac{ON}{AB}$時，則有$\frac{|-{x}^{2}+2x|}{3\sqrt{2}}$=$\frac{|x|}{\sqrt{2}}$，即|x||-x+2|=3|x|，
∴|-x+2|=3，即-x+2=±3，解得x=5或x=-1，
此時N點坐標為（-1，0）或（5，0），
綜上可知存在滿足條件的N點，其坐標為（$\frac{5}{3}$，0）或（$\frac{7}{3}$，0）或（-1，0）或（5，0）．

點評 本題為二次函數(shù)的綜合應用，涉及知識點有待定系數(shù)法、圖象的交點問題、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)及分類討論等．在（1）中注意頂點式的運用，在（3）中設出N、M的坐標，利用相似三角形的性質(zhì)得到關于坐標的方程是解題的關鍵，注意相似三角形點的對應．本題考查知識點較多，綜合性較強，難度適中．