Question

5．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的切線互相垂直，垂足為D，AD交⊙O于點E．
（1）求證：AC平分∠DAB；
（2）若AD=6，CD=2$\sqrt{3}$，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連接OC，由CD是⊙O的切線，AD⊥CD可以得到OC∥AD，然后可以推出∠1=∠2，又OC=OA，由等邊對等角得∠1=∠3，所以∠2=∠3，即AC平分∠DAB；
（2）首先證明△ADC∽△ACB，求得AC的長，根據(jù)相似三角形對應邊的比相等求解．

解答 （1）證明：如右圖所示，連接OC，
∵CD是⊙O的切線，
∴OC⊥CD；
又AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠1=∠2，
∵OC=OA，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，即AC平分∠DAB．
（2）解：∵AB是圓的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴∠ACB=∠ADC，
又∵∠1=∠3，
∴△ADC∽△ACB．
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{AD}{AC}$．
∵直角△ADC中，∠ADC=90°，AD=6，CD=2$\sqrt{3}$，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4$\sqrt{3}$．
∴$\frac{4\sqrt{3}}{AB}$=$\frac{6}{4\sqrt{3}}$，
解得：AB=8．
∵AB是直徑，
∴圓的半徑是4．

點評 本題考查了切線的性質以及相似三角形的判定與性質，正確證明△ADC∽△ACB是關鍵．